Se você faz um gráfico FFT de um sinal simples, como:

t = 0:0.01:1 ;
N = max(size(t));
x = 1 + sin( 2*pi*t ) ;
y = abs( fft( x ) ) ;
stem( N*t, y )

Sinusóide 1Hz + DC

FFT acima

Eu entendo que o número no primeiro compartimento é "quanto DC" existe no sinal.

y(1)  %DC
  > 101.0000

O número no segundo compartimento deve ser "quanto 1 ciclo em todo o sinal" existe:

y(2)  %1 cycle in the N samples
  > 50.6665

Mas não é 101! É cerca de 50,5.

Há outra entrada no final do sinal fft, igual em magnitude:

y(101)
  > 50.2971

Então, 50,5 novamente.

Minha pergunta é: por que a FFT é espelhada assim? Por que não é apenas um 101 emy(2) (o que naturalmente significaria que todos os 101 compartimentos do seu sinal possuem um senoide de 1 Hz?)

Seria preciso fazer:

mid = round( N/2 ) ;

% Prepend y(1), then add y(2:middle) with the mirror FLIPPED vector
% from y(middle+1:end)
z = [ y(1), y( 2:mid ) + fliplr( y(mid+1:end) ) ];

stem( z )

Virar e adicionar na segunda metade do vetor FFT

Pensei agora que a parte espelhada no lado direito foi adicionada corretamente, dando-me o desejado "todos os 101 compartimentos da FFT contêm um senoide de 1Hz"

>> z(2)

ans =

  100.5943

Sinais reais são "espelhados" nas metades real e negativa da transformada de Fourier devido à natureza da transformada de Fourier. A transformação de Fourier é definida como a seguinte

$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt$

Basicamente, ele correlaciona o sinal com um monte de sinusóides complexos, cada um com sua própria frequência. Então, como são esses sinusóides complexos? A figura abaixo ilustra um sinusóide complexo.

$\frac{\pi}{2}$ ) Por estarem 90 graus fora de fase, são ortogonais e podem "capturar" qualquer componente do sinal nessa frequência.

A relação entre o exponencial e o cosseno / seno é dada pela fórmula de Euler:

$e^{jx} = cos(x) + j*sin(x)$

$$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) - j*sin(2\pi ft))dt$$

$$H(-f) = \int h(t)(cos(2\pi (-f)t) - j*sin(2\pi (-f)t))dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) + j*sin(2\pi ft))dt$$

Comparar a versão da frequência negativa com a versão da frequência positiva mostra que o cosseno é o mesmo enquanto o seno é invertido. Eles ainda estão 90 graus fora de fase um com o outro, no entanto, permitindo que eles capturem qualquer componente de sinal nessa frequência (negativa).

Como os sinusóides de frequência positiva e negativa estão 90 graus fora de fase e têm a mesma magnitude, ambos responderão a sinais reais da mesma maneira. Ou melhor, a magnitude de sua resposta será a mesma, mas a fase de correlação será diferente.

EDIT: Especificamente, a correlação de frequência negativa é o conjugado da correlação de frequência positiva (devido ao componente seno imaginário invertido) para sinais reais. Em termos matemáticos, isto é, como Dilip apontou, o seguinte

$H(-f) = [H(f)]^*$

Outra maneira de pensar sobre isso:

Componentes imaginários são apenas isso ... Imaginário! Eles são uma ferramenta que permite o emprego de um plano extra para visualizar as coisas e possibilita grande parte do processamento de sinais digitais (e analógicos), se não muito mais fácil do que usar equações diferenciais!

$^\dagger$

$^\dagger$$5i$

$N$$101$$N$$N$$2^k$$4^k$ para acelerar o cálculo da DFT via FFT.

$\mathbf x = \bigr(x[0], x[1], x[2], \ldots, x[N-1]\bigr)$$N$$\mathbf X =\bigr(X[0], X[1], X[2], \ldots, X[N-1]\bigr)$

$$X[m] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n, m = 0, 1, \ldots, N-1$$ $j = \sqrt{-1}$$\mathbf X$$\mathbf x$$\mathbf x$$\displaystyle X[0]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]$$N$$\exp(-j\pi) = -1$ , também temos esse $$X\left[\frac{N}{2}\right] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N/2}{N}\right)\right)^n = \sum_{n=0}^{N-1} x[n](-1)^n$$ $N$$\mathbf X$$\mathbf x$ $m$$1 \leq m \leq N-1$ $$\begin{align*} X[m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n\\ X[N-m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N-m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi + j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \left(X[m]\right)^* \end{align*}$$ $1 \leq m \leq N-1$$X[N-m] = \left(X[m]\right)^*$$m = N/2$$N$$X[N/2] = \left(X[N/2]\right)^*$$X[N/2]$

$m$$(N-m)$

$1$

---

$\mathbf x$$1$$1$

$$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 100$$ $x[0] = x[100] = 1$$101$ $$X[m] = \sum_{n=0}^{100} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{101}\right)\right)^n$$ $100$$101$$X[m]$$2 \leq m \leq 99$t$100$$t=0, 0.01, 0.02, \ldots, 0.99$ $$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 99.$$ $$X[m] = \sum_{n=0}^{99} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{100}\right)\right)^n,$$ $\mathbf X = (100, -50j, 0, 0, \ldots, 0, 50j)$$0 \leq n \leq 99$ $$\begin{align*} x[n] &= \frac{1}{100}\sum_{m=0}^{99}X[m]\left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^m\\ &= \frac{1}{100}\left[100 - 50j\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)^1 + 50j \left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^{99}\right]\\ &= 1 + \frac{1}{2j}\left[\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right) - \exp\left(j2\pi \frac{-n}{100}\right)\right]\\ &= 1 + \sin(2\pi (0.01n)) \end{align*}$$

Observe que um resultado da FFT é espelhado (como no conjugado simétrico) somente se os dados de entrada forem reais.

Para dados de entrada estritamente reais, as duas imagens espelhadas conjugadas no resultado da FFT cancelam as partes imaginárias de quaisquer sinusóides complexos e, portanto, somam um sinusóide estritamente real (exceto pelo pequeno ruído numérico de arredondamento), deixando assim uma representação estritamente ondas senoidais reais.

Se o resultado da FFT não fosse conjugado espelhado, representaria uma forma de onda que tinha valores complexos (componentes imaginários diferentes de zero), e não algo estritamente real valorizado.