Gradiente da Variação Total da Magnitude da Função Complexa para Denoising

Digamos que tenho uma função complexa $f^*$ (por exemplo, uma imagem de ressonância magnética) que possui uma magnitude constante quase por peça, mas uma fase não constante.

Se eu tiver um problema de otimização para encontrar $f^*$ e configure uma função objetiva com um termo total de variação (por exemplo, para denoising ou sensor comprimido), geralmente tem a seguinte forma:

o b j_{1} (f) = \dots + TV (f)

$obj_1(f) = \ldots + \text{TV}(f)$

No entanto, desde que eu assumo que $f$ tem uma magnitude constante em partes, acho que seria melhor usar:

o b j_{2} (f) = \dots + TV (| f |)

$obj_2(f) = \ldots + \text{TV}(|f|)$

No entanto, para um solucionador baseado em gradiente, seria necessário conhecer o gradiente de obj2. O gradiente para $obj_1(f)$ é: $\text{TV}'\left(TV(f)\right)$ . Qual é o gradiente de $obj_2(f)$ ?

Atualizar:

Intuitivamente, eu assumiria algo como o seguinte (uma vez que a fase não tem influência sobre $obj_2$ , deixe a fase "intocada"):

{TV}^{'} (T V (| f |)) * e^{i \arg (f)}

$\text{TV}'\left(TV(|f|)\right)* e^{i \arg(f)}$

No entanto, meu conhecimento em análises complexas é muito limitado e não tenho certeza se isso faz sentido.

— Stiefel
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Eu acho que tudo isso se resume à derivada complexa da função magnitude, que não está definida. Existe alguma solução alternativa?

— Stiefel

Isso está fora da minha zona de conforto, mas se

f

$f$ tem magnitude constante, não

| f |

$|f|$ ser constante e, portanto, sua variação total ser zero?

— Jason R

Desculpe, eu corrigi a pergunta. Supõe-se que o f * ideal tenha uma magnitude "constante em partes". Os algoritmos de denoising geralmente são iterativos, e o intermediário f ainda não é constante em partes - precisamos do gradiente para tornar iterativamente constante em partes.

— Stiefel

Para tal especializada pergunta análise complexa, que você pode ter melhor sucesso postando sobre a math.SE .

— Jason R

@ Stiefel Isso pode não se aplicar à sua situação, mas você já pensou em mudar a RM para o domínio espacial e aplicar a minimização da Variação Total lá? Você poderia falar um pouco mais sobre o contexto em que você está usando a minimização de TV para ressonância magnética?

— Eric

O problema com $\left|f\right|$ é que, como não é analítico, a definição padrão de derivada complexa não se aplica. Uma solução é usar os derivados Wirtinger:

http://en.wikipedia.org/wiki/Wirtinger_derivatives

Uma descrição detalhada do cálculo de Wirtinger para problemas de processamento de sinal é

http://arxiv.org/abs/0906.4835

Outra opção (provavelmente mais simples) é tratar a imagem complexa como uma imagem de dois canais (real, imag) e usar a definição de derivada para campos vetoriais. Este artigo tem uma explicação muito clara de como fazer isso:

Lee, H.-C .; Cok, DR; "Detectando limites em um campo vetorial" (IEEE Transactions on Signal Processing, vol.39, no.5, pp.1181-1194, maio de 1991)

— Arrigo
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