Qual o efeito de um atraso no domínio do tempo no domínio da frequência?

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Se eu tiver um sinal com tempo limitado, digamos um sinusóide que dura apenas segundos e eu tomo a FFT desse sinal, vejo a resposta em frequência. No exemplo, isso seria um pico na frequência principal do sinusóide. $T$

Agora, digamos que tomo o mesmo sinal de tempo e o retardo por algum tempo constante e depois tomo a FFT, como as coisas mudam? A FFT é capaz de representar esse atraso?

Reconheço que um atraso de tempo representa uma mudança de no domínio da frequência, mas estou com dificuldade para determinar o que isso realmente significa . $\exp(-j\omega t)$

Na prática, o domínio da frequência é um local apropriado para determinar o atraso de tempo entre vários sinais?

fft fourier-transform delay

— galamina
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1

Depende do que você quer dizer com FFT. Digamos que seu sinal original tenha

amostras de tempo. Suponha que o atraso seja de

amostras. Então agora você tem

amostras, com os

primeiros sendo

. Você está computando o FFT das primeiras

amostras (o mesmo de antes)? das amostras

? do último

das amostras

? A resposta vai depender do que você quer dizer com FFT ...

N

$N$

100

$100$

N + 100

$N+100$

100

$100$

0

$0$

N

$N$

N + 100

$N+100$

N

$N$

N + 100

$N+100$

— Dilip Sarwate

1

@Dilip Estou procurando uma resposta mais geral. Talvez uma explicação do que mudaria nesses cenários seria útil?

— gallamine

1

Se você passar o último

das amostras

para a sua sub-rotina FFT de ponto

, obterá o mesmo FFT como antes. Não há diferença alguma. Se você passar o primeiro

das amostras

(com as primeiras

amostras sendo

) para a sub-rotina FFT do seu ponto

, obterá coisas difíceis de interpretar. Leia atentamente a resposta de @JasonR, informando que, se as primeiras

amostras forem preenchidas a partir de seus dados por meio de uma circular ou cíclica

N

$N$

N + 100

$N+100$

N

$N$

N

$N$

N + 100

$N+100$

100

$100$

0

$0$

N

$N$

100

$100$ shift, você verá o atraso refletido na fase das amostras.

— Dilip Sarwate

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A transformada discreta de Fourier (DFT) , comumente implementada pela transformada rápida de Fourier (FFT) , mapeia uma sequência de comprimento finito de amostras discretas no domínio do tempo em uma sequência de igual comprimento de amostras no domínio da frequência. As amostras no domínio da frequência são em geral números complexos; eles representam coeficientes que podem ser usados em uma soma ponderada de funções exponenciais complexas no domínio do tempo para reconstruir o sinal original no domínio do tempo.

Esses números complexos representam uma amplitude e fase associadas a cada função exponencial. Assim, cada número na sequência de saída da FFT pode ser interpretado como:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{\frac{- j 2 π n k}{N}} = A_{k} e^{j ϕ_{k}}

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{\frac{-j 2 \pi n k}{N}} = A_k e^{j \phi_k}$

$e^{\frac{j 2 \pi n k}{N}}, k = 0, 1, \ldots, N-1$ $X[k] = A_k e^{j \phi_k}$ $x[n]$

Portanto, falando à sua pergunta, os vários tipos de transformação de Fourier têm a propriedade de que um atraso no domínio do tempo é mapeado para uma mudança de fase no domínio da frequência. Para a DFT, essa propriedade é:

x [n] \leftrightarrow X [k]

$x[n] \leftrightarrow X[k]$

x [n - D] \leftrightarrow e^{\frac{- j 2 π k D}{N}} X [k]

$x[n-D] \leftrightarrow e^{\frac{-j2 \pi k D}{N}}X[k]$

$D$ $e^{\frac{-j2 \pi k D}{N}}$

$x[n]$ $D$ $D$ $x[n]$ $x[n]$ $D$

— Jason R
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1

Gallamine,

Isso significa simplesmente que haverá um deslocamento de fase no seu vetor FFT. Quando você envia seu sinal (real) à FFT, sua resposta é complexa, assim você terá uma parte real e imaginária. Se você pegou a fase deles (inverse_tangent (imag / real)), isso exibirá todas as fases das frequências. A maneira como as fases deles diferem se você não teve atraso está relacionada diretamente ao atraso que você tem no tempo.

(No matlab, você também pode obter a fase simplesmente "angle (fft_result)").

A propósito, se você fizer uma correlação do seu sinal com atraso e sem atraso e escolher o pico, poderá obter o atraso dessa maneira. No domínio freq, subtrai todas as fases do seu sinal sem atraso, de todo o sinal com atraso e calcula a média.

— Spacey
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2

Há muitas coisas não ditas e não especificadas nesta resposta. Mohammad está essencialmente assumindo uma mudança circular dos dados sem dizer isso. Ver resposta da @ JasonR (editado) para uma descrição cuidadosa deste ponto, e meu comentário sobre a questão principal dizendo que há muitas maneiras de usar a FFT e todos eles dão resultados diferentes

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate está certo, isso pressupõe uma mudança circular de dados. Como ele apontou, existem sutilezas na FFT com base no vetor de entrada.

— Spacey

@gallamine, posso perguntar o que seus vetores de dados parece, exmaple: - Signal1: [someZeros, sinal, someZeros] - Signal2: [someDifferentNumberOfZeros, sinal, someDifferentNumberOfZeros]

— Spacey

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$\sin(\omega t)$ $\omega$

— aman profundo
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Oi aman. Bem-vindo ao Signals.SE. Você poderia demorar um pouco e formatar um pouco sua resposta? Temos o MathJax ativado, o que geralmente preferimos para equações. Fiz uma edição parcial rápida que tem alguns exemplos, se você nunca a usou antes. Obrigado pela sua contribuição e, novamente, bem-vindo ao site!

— datageist