Limites da derivada de uma função limitada de banda limitada

Seja uma função com propriedades: $f(t)$

\begin{array}{ll} t \in R & t is in reals \\ f (t) \in R for all t & f (t) is in reals \\ | f (t) | < A for all t & absolute value of f (t) is bounded above by A \\ \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t = 0 for all | ω | \geq B & f (t) is band-limited by frequency B in radians \end{array}

$\begin{array}{ll} t\in\mathbf{R}&t\text{ is in reals}\\ f(t)\in\mathbf{R}\text{ for all } t&f(t)\text{ is in reals}\\ |f(t)|<A\text{ for all }t&\text{absolute value of }f(t)\text{ is bounded above by }A\\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \ e^{- i \omega t} \ {\rm d}t = 0\text{ for all }|\omega|\ge B&f(t)\text{ is band-limited by frequency B in radians} \end{array}$

Dados e qual é o limite superior apertado para o valor absoluto da derivada da função? $A$ $B,$ $|f'(t)|,$

Nada mais deve ser assumido sobre além do que foi afirmado acima. O limite deve acomodar essa incerteza. $f(t)$

Para um sinusóide de amplitude e frequência o valor absoluto máximo da derivada éGostaria de saber se esse é um limite superior e, nesse caso, também o limite superior apertado. Ou talvez uma função não sinusoidal tenha uma inclinação mais acentuada. $A$ $B,$ $AB.$

bandwidth derivative

— Olli Niemitalo
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Você verificou isso ?

— Tendero

@Tendero thanks. Lá, a energia do sinal é conhecida, e não o valor absoluto de pico, como na minha pergunta.

— Olli Niemitalo 30/08/19

Veja minha resposta para o limite que você procura. Em geral, um resultado devido a Bernstein diz que se a frequência máxima em um genérico delimitado em for , ou seja, para , então

x (t)

$x(t)$

[- 1, 1]

$[-1,1]$

f_{0}

$f_0$

X (f) = 0

$X(f) = 0$

| f | > f_{0}

$|f| > f_0$

max | \frac{d x}{d t} | \leq 2 π f_{0} .

$\max \left| \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right| \leq 2\pi f_0.$

— precisa saber é o seguinte

Com base na versão nítida da desigualdade de Bernstein, nas respostas vinculadas de Dilip, na resposta editada de MBaz e na literatura citada, é realmente o limite superior agudo (eu o chamei de apertado, o mesmo) para o valor absoluto máximo do derivado, um valor completo. escala sinusoidal exatamente no limite da banda (não estritamente permitido pelas restrições que dou), tornando a desigualdade uma igualdade.

A B

$AB$

— Olli Niemitalo 31/08/18

Respostas:

Você estará interessado na desigualdade de Bernstein, que aprendi pela primeira vez em Lapidoth, A Foundation in Digital Communication (página 92).

Com um sinal bem comportado, como você definiu acima (em particular, é integrável e com banda limitada a e ), então $f(t)$ $f(t)$ $B\,\text{Hz}$ $\text{sup}\,|f(t)| = A$

| \frac{d f (t)}{d t} | \leq 2 A B π .

$\left|\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\right| \leq 2AB\pi.$

Observe que o resultado original de Bernstein estabeleceu um limite de ; depois, esse limite foi apertado para . $4AB\pi$ $2AB\pi$

Passei algum tempo lendo a "Série Trigonométrica" de Zygmund; tudo o que direi é que é o remédio perfeito para quem tem a impressão de que conhece trigonometria. Uma compreensão completa da prova está além da minha habilidade matemática, mas acho que posso destacar os pontos principais.

Primeiro, o que Zygmund chama de desigualdade de Bernstein é um resultado mais limitado. Dado o polinômio trigonométrico (com real ), entãocom desigualdade estrita, a menos que seja um monômio .

T (x) = \sum_{- \infty}^{\infty} c_{k} e^{j k x}

$T(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_k e^{jkx}$

x

$x$

max_{x} | T^{'} (x) | \leq n max_{x} | T (x) |

$\max_x |T'(x)| \leq n \max_x |T(x)|$

T

$T$

A \cos (n x + α)

$A \cos(nx+\alpha)$

Para generalizar isso, precisamos de um resultado preliminar. Considere uma função que está em e em . ( é a classe de funções integrais do tipo no máximo - este é um dos lugares em que minha matemática começa a se desgastar nas bordas. Meu entendimento é que essa é uma maneira matematicamente rigorosa de afirmando que tem largura de banda .) $F$ $\text{E}^\pi$ $\text{L}^2$ $\text{E}^\sigma$ $\sigma$ $f=\text{IFT}\lbrace F \rbrace$ $\sigma$

Para qualquer um desses , temos a fórmula de interpolação onde é complexo e(Este é o teorema 7.19.) $F$

F (z) = \frac{\sin (π z)}{π} F_{1} (z),

$F(z) = \frac{\sin(\pi z)}{\pi}F_1(z),$

z

$z$

F_{1} (z) = F^{'} (0) + \frac{F (0)}{π} + \sum_{n = - \infty}^{\infty}^{'} (- 1)^{n} F (n) (\frac{1}{z - n} + \frac{1}{n}) .

$F_1(z) = F'(0) + \frac{F(0)}{\pi} + \sum_{n=-\infty}^\infty {^\prime} (-1)^nF(n) \left( \frac{1}{z-n}+\frac{1}{n} \right).$

Agora podemos afirmar o principal teorema. E se:

$F$ está em com $\text{E}^\sigma$ $\sigma>0$
$F$ é delimitado no eixo real
$M=\sup |F(x)|$ para real $x$

então com igualdade possível se para arbitrário . Supomos que (caso contrário, usamos vez de .)

| F^{'} (x) | \leq σ M

$|F'(x)| \leq \sigma M$

F (z) = a e^{j σ z} + b e - j σ x

$F(z) = a e^{j\sigma z} + b e{-j\sigma x}$

a, b

$a,b$

σ = π

$\sigma=\pi$

F (z π / σ)

$F(z\pi/\sigma)$

F (z)

$F(z)$

Para provar isso, escrevemos a derivada de usando a fórmula de interpolação acima:Definindo , obtemos que implica $F$

F^{'} (x) = F_{1} (x) \cos (π x) + \frac{\sin (π x)}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} F (n)}{(x - n)^{2}} .

$F'(x) = F_1(x)\cos(\pi x)+\frac{\sin(\pi x)}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(x-n)^2}.$

x = 1 / 2

$x=1/2$

F^{'} (1 / 2) = \frac{4}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} F (n)}{(2 n - 1)^{2}}

$F'(1/2) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(2n-1)^2}$

| F^{'} (1 / 2) | \leq \frac{4}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 n - 1)^{2}} = \frac{4 M π^{2}}{4 π} = M π .

$|F'(1/2)| \leq \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{4M\pi^2}{4\pi} = M\pi.$

Agora precisamos de um pequeno truque: faça um arbitrário e defina . Então, $x_0$ $G(z) = F(x_0+z-1/2)$

| F^{'} (x_{0}) | = | G^{'} (1 / 2) | \leq M π .

$|F'(x_0)| = |G'(1/2)| \leq M\pi.$

(TODO: mostre a prova do caso de igualdade. Defina .) $\sum \prime$

— MBaz
fonte

@OlliNiemitalo Como foi salientado na resposta de MattL, a sinusóide tem máxima derivado de . Isso atende aos limites de Bernstein, conforme indicado na minha resposta aqui no dsp.SE (citado em um comentário à sua pergunta) e na minha resposta no math.SE que você encontrou com igualdade.

\sin (2 π B t)

$\sin(2\pi Bt)$

2 π B

$2\pi B$

— usar o seguinte código

@OlliNiemitalo Encontrei a prova dada por Pinksy aqui (espero que o link funcione!). Ele definitivamente usa como limite, não .

4 A B π

$4AB\pi$

2 A B π

$2AB\pi$

— MBaz 30/08/19

@ MBaz Seu link funciona mesmo! No final da seção 2.3.8, eles dizem que a versão mais conhecida da desigualdade de Bernstein tem o fator 2 em vez de 4, que é nítido, e que, para detalhes, consulte Zygmund (1959) vol. 2, p. 276. Eu acho que é Zygmund, A. Série trigonométrica. 2nd ed. Vol. II Cambridge University Press, Nova York 1959.

— Olli Niemitalo

RP Boas, Alguns teoremas sobre transformadas de Fourier e conjugadas integrais trigonométricas , Transactions of the American Mathematics Society 40 (2), 287-308, 1936 cita os artigos relevantes de Bernstein, Szegö e Zygmund, já com o limite preciso, tanto quanto Eu sei dizer

— Olli Niemitalo 30/08/18

@OlliNiemitalo Excellent! Eu tinha perdido essa nota no final da seção 2.3.8. Vou atualizar minha resposta. Além disso: o livro de Zygmund está na biblioteca da minha universidade, mas não está online. Vou retirá-lo amanhã e ver o que diz.

— MBaz 30/08/19

Em geral, você obteria algo como isto, mas pode não ser rígido:

\begin{aligned} | f^{'} (t) | & = | \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} j ω F (j ω) e^{- j ω t} d ω | \\ \leq \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} | ω | | F (j ω) | d ω \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{c}}^{ω_{c}} | ω | | F (j ω) | d ω \\ \leq \frac{| ω_{c} |}{2 π} \int_{- ω_{c}}^{ω_{c}} | F (j ω) | d ω \\ (1) & = \frac{ω_{c}}{π} \int_{0}^{ω_{c}} | F (j ω) | d ω \end{aligned}

$\begin{align}|f'(t)|&=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}j\omega F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega\right|\\&\le \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&\le \frac{|\omega_c|}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{\omega_c}{\pi}\int_{0}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\tag{1}\end{align}$

O limite superior em $|f(t)|$ é claro que está implícito em $|F(j\omega)|$ .

Para um sinusóide $A\sin(\omega_ct)$ , $(1)$ dá $A\omega_c$ como um limite superior, conforme o esperado.

— Matt L.
fonte

@Olli Niemitalo, eu tinha derivado o caso senoidal, acho que esse é o caso geral que estávamos analisando. Obrigado Matt L.

— MimSaad