Distribuição de

Existe uma expressão canônica ou analítica para a distribuição de probabilidade da variável aleatória complexa simétrica circular : que ?$Z$

$$Z = e^{j\theta},$$ $\theta \sim \mathcal U(0, 2\pi)$

Notas laterais:

Sabe-se que as partes reais e imaginárias, ou seja: têm densidades marginais dadas por : mas porque não são independentes, calculando seu PDF conjunto não é trivial.

$$\Re(Z) = \cos \theta \\ \Im(Z) = \sin \theta$$ $$f_{\Re(Z)}(z) = f_{\Im(Z)}(z) = \frac{1}{\pi\sqrt{1-z^2}}, \quad -1 < z < 1,$$

EDIT: é diferente de um complexo normal, aqui, a amplitudeé determinístico e identicamente 1, enquanto que se fosse complexo normal,seria Rayleigh distribuído.$Z$$|Z|$ $Z$$|Z|$

Como as partes reais e imaginárias são muito dependentes uma da outra (se você tem o valor de uma, você sabe exatamente o valor da outra), parece que você poderia aplicar o pdf marginal da parte real , dado um valor da parte imaginária :$r$$i$

$$f_{ri}(r, i) = f_{r | i}(r\ |\ i) f_i(i)$$

Você anotou o pdf das partes reais e imaginárias individualmente:

$$f_r(z) = f_i(z) = \frac{1}{\pi\sqrt{1-z^2}}$$

Isso deixa o pdf marginal . Lembre-se de que, para uma determinada realização da variável aleatória , os dois componentes estão relacionados de forma determinística:$f_{r | i}(r\ |\ i)$$Z$

$$r^2 + i^2 = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$$

Dada essa relação, podemos resolver em termos de :$r$$i$

$$r^2 = 1 - i^2$$ $$r = \pm \sqrt{1-i^2}$$

Portanto, o pdf marginal de dado um valor de é um par de impulsos:$r$$i$

$$f_{r | i}(r\ |\ i) = \frac{1}{2}\delta\left(r - \sqrt{1 - i^2}\right) + \frac{1}{2}\delta\left(r + \sqrt{1 - i^2}\right)$$

Colocá-los juntos produziria:

$$f_{ri}(r, i) = \frac{\delta\left(r - \sqrt{1 - i^2}\right) + \delta\left(r + \sqrt{1 - i^2}\right)}{2\pi\sqrt{1-i^2}}$$

Pensando nisso geometricamente, para cada linha horizontal (para ) no plano , existem apenas dois pontos que são diferentes de zero , e o pdf tem uma altura infinita nesses pontos. Como poderíamos esperar, esses pontos de interseção (ou seja, pontos em que o pdf é diferente de zero) são onde a linha horizontal se cruza com o círculo unitário!$i = i_0$$i_0 \in [-1, 1]$$ri$$r_0 = \pm \sqrt{1 - i_0^2}$

Isso significa que o pdf da junta é de valor zero, exceto ao longo do círculo unitário, onde assume altura infinita. Isso está alinhado com a intuição, pois a definição da variável aleatória garante que eles possam assumir apenas valores que estão no círculo unitário.$Z$

Não há nada de especial na maneira específica como descrevi isso; você também pode transpor o problema e observar as linhas verticais no plano da forma e encontrará a mesma relação devido ao acoplamento próximo das duas variáveis ​​aleatórias.$ri$$r = r_0$

Acredito que essa formulação seja equivalente à da resposta de AlexTP , mas sua derivação é provavelmente mais intuitiva.

Evitar cálculos complicados, deixar e ser iid normais padrão variáveis aleatórias, a variável aleatória tem a mesma distribuição de (fácil de ver e o ângulo de é equivalente ao ângulo de um normal circularmente simétrico, portanto uniforme) .$X$$Y$$Z$$V$

$$V \triangleq \left(\frac{X}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{Y}{\sqrt{X^2+Y^2}} \right)$$ $\lVert V\rVert=1$$V$

Esse tipo de é uma das construções de um ponto uniformemente distribuído no círculo (que pode ser generalizado para a esfera , consulte Seleção de ponto de esfera e, por exemplo, esta resposta ).$V$$(n-1)$

Assim, o PDF de é simplesmente o inverso da circunferência do círculo unitário. Para com fixo e uniforme ,$Z$$Z_\rho = \rho e^{j\Theta}$$\rho$$\Theta$

em coordenadas polares (onde a área infinitesimal é ), $r dr d\theta$

$$f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac{1}{2\pi} \delta(r - \rho)$$

Com base nas respostas existentes, que abriram meus olhos para o que está acontecendo aqui, gostaria de apresentar mais uma expressão muito simples para a solução, que é apenas ligeiramente diferente daquela na resposta da AlexTP (e que acabou sendo equivalente a o indicado na resposta de Jason R , como mostrado abaixo na parte EDIT).

[EDIT: agora que AlexTP editou sua resposta, nossas expressões para o PDF são idênticas; então todas as três respostas finalmente concordam uma com a outra].

Seja a variável aleatória complexa definida como$Z=X+jY$

$$Z=\rho e^{j\theta}\tag{1}$$

onde o raio é determinístico e dado, enquanto o ângulo é aleatório e uniformemente distribuído em . Afirmo, sem mais provas, que é circular simétrico, do qual se conclui que sua função de densidade de probabilidade (PDF) deve satisfazer$\rho$$\theta$$[0,2\pi)$$Z$

$$f_Z(z)=f_Z(x+jy)=f_Z(r),\qquad\textrm{with}\quad r=\sqrt{x^2+y^2}\tag{2}$$

isto é, pode ser escrito como uma função do raio (magnitude) .$r$

Como o PDF deve ser zero em qualquer lugar, exceto , e como deve ser integrado à unidade (quando integrado no plano bidimensional), o único PDF possível é$r=\rho$

$$f_Z(r)=\frac{1}{2\pi}\delta(r-\rho)\tag{3}$$

Pode ser mostrado que conduz às densidades marginais correcção para as variáveis aleatórias e .$(3)$$X$$Y$

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EDITAR:

Após uma discussão muito útil nos comentários, parece que conseguimos chegar a um acordo sobre uma solução para o problema. Vou mostrar a seguir que a fórmula despretensioso é realmente equivalente a fórmula olhando mais envolvido na resposta de Jason R . Note que eu uso para a magnitude (raio) do complexo RV , enquanto que na resposta de Jason denota a parte real . Usarei e para as partes reais e imaginárias, respectivamente. Aqui vamos nós:$(3)$$r$$Z$$r$$Z$$x$$y$

$$f_Z(r)=\frac{1}{2\pi}\delta(r-\rho)=\frac{1}{2\pi}\delta\left(\sqrt{x^2+y^2}-\rho\right)\tag{4}$$

Nós sabemos isso $\delta\big(g(x)\big)$ É dado por

$$\delta\big(g(x)\big)=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}\tag{5}$$

Onde $x_i$ são as raízes (simples) de $g(x)$. Nós temos

$$g(x)=\sqrt{x^2+y^2}-\rho\quad\textrm{and}\quad g'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{r}\tag{6}$$

As duas raízes $x_i$ estamos

$$x_{1,2}=\pm\sqrt{\rho^2-y^2}\tag{7}$$

Consequentemente,

$$|g'(x_1)|=|g'(x_2)|=\frac{\sqrt{\rho^2-y^2}}{\rho}=\sqrt{1-\left(\frac{y}{\rho}\right)^2}\tag{8}$$

Com $(5)$-$(8)$, Eq. $(4)$ pode ser escrito como

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\left(\frac{y}{\rho}\right)^2}}\left[\delta\left(x-\sqrt{\rho^2-y^2}\right)+\delta\left(x+\sqrt{\rho^2-y^2}\right)\right]\tag{9}$$

Para $\rho=1$, Eq. $(9)$é idêntica à expressão dada na resposta de Jason R .

Acho que agora podemos concordar que a Eq. $(3)$ é uma expressão correta (e muito simples) para o PDF do complexo RV $Z=\rho e^{j\theta}$ com determinista $\rho$ e distribuído uniformemente $\theta$.