Como funciona a “região de convergência” da transformação

Sou iniciante no DSP e tenho poucas dúvidas sobre a transformação $\mathcal Z$ e sua região de convergência (ROC).

Eu sei o que é uma transformação $\mathcal Z$Mas estou tendo problemas para entender o ROC. Antes de tudo, tenho alguma confusão com $X(z)$ e $x(z)$ . Eu sou pego facilmente trocando esses termos. Eu sei que o ROC define a região de onde a transformação $\mathcal Z$ existe. Na web e em meus livros, afirma que:

Se $x[n]$ for uma sequência de duração finita, o ROC é o plano $z$ inteiro, exceto possivelmente $z = 0$ ou $\lvert z\rvert = \infty$ . Uma sequência de duração finita é uma sequência diferente de zero em um intervalo finito $n_1 \le n \le n_2$

E depois diz:

Quando $n_2 > 0$ , haverá um termo $z^{-1}$ e, portanto, o ROC não incluirá $z=0$ . Quando $n_1 < 0$ , a soma será infinita e, portanto, o ROC não incluirá $\lvert z\rvert=\infty$ .

É aqui que eu fico preso! O que eles tentam dizer na linha acima " Quando haverá um termo z - 1 e, portanto, o ROC não incluirá z = $n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$ " O que eles significam com ? Eles estão substituindo z como 0 , se sim, em qual equação?$z=0$$z$$0$

Como calculamos a região de convergência para uma sequência infinita?

Para ser completamente honesto, pensei que a teoria por trás da transformação Z também era meio opaca na faculdade. Em retrospectiva, fazer um curso de análise complexa teria tornado mais claro. E eu também não gosto das convenções notacionais que parecem ser usadas para essas coisas. A rigor, a convenção usual aqui é que

• indica uma sequência de tempo discreto $x[n]$
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • os colchetes denotam um argumento discreto
• denota uma função transformada de valor contínuo $X(z)$
  • (é um número complexo)$z\in\mathbb{C}$
  • os parênteses indicam uma função que aceita um parâmetro de valor contínuo
  • $X$$x$$F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

O que eles querem dizer com z = 0? Eles estão substituindo z como 0, se sim, em qual equação?

$z=0$

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

$x[n] \ne 0$$n \ne 0$$z$$x[0] = 1, x[1] = 1$$x[n]=0$$n<0$$n>1$$X(z) = 1 + z^{-1}$$z=0$$\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

Quando seu texto diz " Quando , haverá um termo e, portanto, o ROC não incluiráz - 1 z = $n_2>0$$z^{−1}$$z=0$ ", o que eles querem dizer com isso é, quando é diferente de zero para alguns , é inevitável que a transformação z inclua um termo , que diverge para o infinito em . Isso é tudo.n>0 z - n z=$x[n]$$n>0$$z^{-n}$$z=0$

Como calculamos a região de convergência para uma sequência infinita?

Muita matemática. Ha!

srsly, a maneira como isso é feito é obter uma formulação algébrica para a sequência em questão, conectá-la à definição de transformação Z e usar as ferramentas disponíveis na análise de séries geométricas (e séries de potências complexas) para determinar onde esse Z -Transform converge / diverge. Na prática, determinar se converge é a pergunta mais importante a ser respondida, porque isso determina estabilidade e se você pode ou não obter uma resposta de frequência do sistema etc. Mas a causalidade também pode ser importante, dependendo do que você está fazendo.$|z|=1$