Opções de convenção e notação para a transformação de Fourier?

As definições da transformada de Fourier e da inversa de Fourier que aprendi na faculdade foram

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

As principais características desta convenção são

Transformada não unitária; unidades no domínio da frequência são radianos (a variável é ) $\omega$
As unidades "domínio de tempo" estão no tempo (a variável é ) $t$
As transformações de funções são denotadas por letras maiúsculas ( vs. ) $F$ $f$
O em indica estritamente que a função é uma transformada de Fourier $j$ $F(j\omega)$
E, claro, a convenção usual de EE que . $j=\sqrt{-1}$

Hoje em dia eu uso uma convenção muito diferente, essencialmente a usada nas wikipedias :

As características desta convenção estamos

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$

Transformação unitária; unidades no domínio da frequência são frequência normalizada (a variável é ) $\xi$
As unidades "domínio de tempo" não possuem unidades (a variável é ) $x$
$\hat{f}$ $f$
$\xi$ $x$

Eu prefiro muito esta convenção por várias razões.

O uso de uma convenção unitária aumenta muito a simetria e a clareza dos duais de Fourier: compare
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$
$x$ $t$ $t$
Acho que as letras maiúsculas são mais úteis para denotar variáveis / funções de valor discreto do que para representar funções transformadas.
$f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
$\pi$

Certamente, seria muito inútil da minha parte considerar minha escolha de convenção superior à usada por outros. Mas estou tendo dificuldades para encontrar boas razões para preferir a convenção que aprendi originalmente na faculdade (ou seja, razões que não envolvem tradição).

$F(j\omega)$

Alguém pode pensar em outras razões para preferir a convenção "tradicional" (não unitária)? Esta convenção "tradicional" é a mesma que você aprendeu em um curso de processamento de sinais (se você fez um)? Qual convenção você prefere?

fourier-transform frequency

— rtollert
fonte

As perguntas que solicitam opiniões pessoais não são realmente construtivas para este site. A resposta é que realmente não importa qual é a sua convenção, desde que você a defina corretamente, use-a de forma consistente e em muitos casos, atenha-se à notação comum usada em seu campo. O importante é não inventar novas notações malucas para serem intencionalmente obtusas. Eu não tenho certeza de como as preferências e opiniões pessoais são úteis em nada disso ...

— Lorem Ipsum 31/10

Posso entender o desejo de evitar a mera opinião, mas acho que há uma pergunta legítima sobre por que as convenções tradicionais são o que são: é improvável que elas sejam definidas apenas como acidentes históricos. Eu estaria disposto a reescrever esta pergunta para evitar solicitar opiniões e focar na questão de como essas decisões de convenção / notação na literatura sobre processamento de sinais surgiram em primeiro lugar.

— Rtollert 31/10/11

Você esqueceu de substituir todos os 2π por τ . : D

— endólito 31/10

@endolith Você me venceu :) :)

— datageist

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

A escolha da convenção deve ser a mais apropriada (ou familiar) para o público com o qual você está tentando se comunicar.

— hotpaw2
fonte

Uma coisa sobre o uso de x (t) para um sinal é o paralelo entre

$y = x^2$

$y(t) = x(t)^2$

onde x ainda é uma entrada e y ainda é uma saída, nesse caso, são sinais em vez de números.

— endólito
fonte