Opções de convenção e notação para a transformação de Fourier?


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As definições da transformada de Fourier e da inversa de Fourier que aprendi na faculdade foram

f ( t ) = 1

F(jω)=-f(t)e-jωt dt
f(t)=12π-F(jω)ejωtdω

As principais características desta convenção são

  • Transformada não unitária; unidades no domínio da frequência são radianos (a variável é )ω
  • As unidades "domínio de tempo" estão no tempo (a variável é )t
  • As transformações de funções são denotadas por letras maiúsculas ( vs. f )Ff
  • O em F ( j ω ) indica estritamente que a função é uma transformada de FourierjF(jω)
  • E, claro, a convenção usual de EE que .j=-1

Hoje em dia eu uso uma convenção muito diferente, essencialmente a usada nas wikipedias :

f(x)=- f (ξ)ej2¸ξxdξ As características desta convenção estamos

f^(ξ)=-f(x)e-j2πξxdx
f(x)=-f^(ξ)ej2πξxdξ
  • Transformação unitária; unidades no domínio da frequência são frequência normalizada (a variável é )ξ
  • As unidades "domínio de tempo" não possuem unidades (a variável é )x
  • f^f
  • ξx

Eu prefiro muito esta convenção por várias razões.

  1. O uso de uma convenção unitária aumenta muito a simetria e a clareza dos duais de Fourier: compare
    • rect(x)sEunc(ξ)
    • sEunc(x)rect(ξ)
    • rect(t)sEunc(ω2π)
    • sEunc(t)rect(ω2π)
  2. xtt
  3. Acho que as letras maiúsculas são mais úteis para denotar variáveis ​​/ funções de valor discreto do que para representar funções transformadas.
  4. fξF{f}Ff(t)F{f}(t)F{f}(ω)
  5. π

Certamente, seria muito inútil da minha parte considerar minha escolha de convenção superior à usada por outros. Mas estou tendo dificuldades para encontrar boas razões para preferir a convenção que aprendi originalmente na faculdade (ou seja, razões que não envolvem tradição).

F(jω)

Alguém pode pensar em outras razões para preferir a convenção "tradicional" (não unitária)? Esta convenção "tradicional" é a mesma que você aprendeu em um curso de processamento de sinais (se você fez um)? Qual convenção você prefere?


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As perguntas que solicitam opiniões pessoais não são realmente construtivas para este site. A resposta é que realmente não importa qual é a sua convenção, desde que você a defina corretamente, use-a de forma consistente e em muitos casos, atenha-se à notação comum usada em seu campo. O importante é não inventar novas notações malucas para serem intencionalmente obtusas. Eu não tenho certeza de como as preferências e opiniões pessoais são úteis em nada disso ...
Lorem Ipsum 31/10

3
Posso entender o desejo de evitar a mera opinião, mas acho que há uma pergunta legítima sobre por que as convenções tradicionais são o que são: é improvável que elas sejam definidas apenas como acidentes históricos. Eu estaria disposto a reescrever esta pergunta para evitar solicitar opiniões e focar na questão de como essas decisões de convenção / notação na literatura sobre processamento de sinais surgiram em primeiro lugar.
Rtollert 31/10/11

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Você esqueceu de substituir todos os 2π por τ . : D
endólito 31/10

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@endolith Você me venceu :) :)
datageist

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x(t)X(f)X(ω)

Respostas:


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A escolha da convenção deve ser a mais apropriada (ou familiar) para o público com o qual você está tentando se comunicar.


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Uma coisa sobre o uso de x (t) para um sinal é o paralelo entre

  • y=x2

e

  • y(t)=x(t)2

onde x ainda é uma entrada e y ainda é uma saída, nesse caso, são sinais em vez de números.

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