Por que a amostragem de um sinal de tempo contínuo periódico não produz um sinal de tempo discreto periódico?

Eu tenho estudado sinais e sistemas recentemente e deparei-me com a seguinte afirmação:

A amostragem uniforme de um sinal de tempo contínuo periódico pode não ser periódica!

Alguém pode explicar por que essa afirmação é verdadeira?

— Ahmed Wessam
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Se a relação entre sua frequência de amostragem e a frequência do seu sinal for irracional, você não terá um sinal discreto periódico.

Supondo que você tenha uma onda senoidal de 1 kHz e faça amostragem a 3000 * sqrt (2) Hz. Você terá aproximadamente 4,2 amostras por período. No entanto, você não poderá experimentar a onda senoidal exatamente no mesmo local. Portanto, seu sinal digital não será periódico.

No entanto, se você amostrasse o mesmo sinal de 1 kHz a 4 kHz, obteria um sinal discreto periódico. O período seria de 4 amostras.

— Ben
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E bastante interessante (corrija-me se estiver errado), como a medida dos racionais é zero, se você amostrar um sinal periódico contínuo discretamente, sem conhecer sua frequência, a probabilidade de obter um sinal discreto periódico é zero (teoricamente falando, porém em prática devido à quantização, as coisas não serão tão ruins).

— Apollys apoia Monica

@Apollys Por outro lado, os racionais são densos nos reais e a vida do Universo é talvez e a nossa é certamente limitada, portanto, obter algo próximo o suficiente de periódico (embora talvez com um longo período) seja mais do que provável - em em particular, quando o sinal de amostra e não são gerados por processos controlados em gravidade zero e perto da temperatur zero absoluto e estante ...

— Hagen von Eitzen

Corrija-me se estiver errado: Mas quando o sinal de entrada é 1kHze você faz uma amostragem 3.5kHz, você recebe um sinal periódico com um período de tempo de 2ms. Para obter um sinal periódico, f_snão precisa ser n*f_in, mas pode sern*f_in/m

— 12431234123412341234123

Sim, a proporção entre 3,5 kHz e 1 kHz é um número racional, 2/7, ou seja, não é irracional.

— Ben

@ Apollys: Sim, mas em alguns sistemas eles implementam um loop de controle para ajustar a frequência de amostragem para um múltiplo do sinal de frequência de interesse. Por exemplo, em sistemas de energia, onde a frequência de amostragem está rastreando a frequência da rede. Isso facilita alguns cálculos, calculando a média, RMS e harmônicos, por exemplo.

— Ben