"A transformação de Fourier não pode medir duas fases na mesma frequência." Por que não?

Eu li que a transformada de Fourier não pode distinguir componentes com a mesma frequência, mas com fases diferentes. Por exemplo, no Mathoverflow , ou xrayphysics , de onde obtive o título da minha pergunta: "A transformação de Fourier não pode medir duas fases na mesma frequência".

Por que isso é verdade matematicamente?

Isso ocorre porque a presença simultânea de dois sinais sinusoidais com a mesma frequência e fases diferentes é realmente equivalente a um único sinusoidal na mesma frequência, mas com uma nova fase e amplitude da seguinte maneira:

Que os dois componentes sinusodiais sejam somados da seguinte forma:

A partir de manipulações trigionométricas, pode ser demonstrado que:

onde

portanto, você realmente tem um único senoidal (com uma nova fase e amplitude) e, portanto, nada para distinguir de fato ...

Se você ler mais, até "A versão simplificada da transformação de Fourier que discutimos acima não pode explicar as mudanças de fase - como a transformação de Fourier realmente faz isso?" você notará uma explicação um pouco melhor, eles usam seno e cosseno.

" Matemática das mudanças de fase (opcional) .

Para ver como uma mudança de fase pode ser dividida em senos e cossenos não-deslocados, precisamos de uma identidade trigonométrica: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( b)

A * sen (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Como você pode ver, a mudança de fase move parte da amplitude (energia) do sinal senoidal para um sinal senoidal, mas a frequência não muda. Se você usar a representação numérica complexa da transformada de Fourier, a mudança de fase simplesmente representa uma rotação do valor no plano complexo, com a magnitude inalterada. O fato de que as mudanças de fase apenas movem a amplitude de seno para cosseno significa que a adição de dois sinais com a mesma frequência e fase diferente gera um sinal com uma mudança de fase geral (média) nessa frequência - e nenhuma memória dos componentes ".

Na prática, é mais complicado, consulte " Técnicas de Fourier Parciais ", " Simetria de Conjugado de Fase " e " FOV e espaço-k ". No " Introdução à codificação de fase - I ", eles explicam:

"... quando duas ondas senoidais (A e B) com a mesma frequência, mas fases diferentes são adicionadas, o resultado é outra onda senoidal com a mesma frequência, mas com uma fase diferente. Quando as ondas senoidais estão próximas na fase, elas construtivamente interferem e, quando fora de fase, interferem destrutivamente.

... Olhando apenas para a soma deles, você simplesmente vê uma onda senoidal de certa frequência e fase. É impossível a partir desta única observação para resolver as contribuições individuais feitas por ondas A e B.

No entanto, ao fazer duas observações com A e B alteradas por diferentes fases, é possível determinar suas contribuições individuais observando apenas suas somas. Isso é ilustrado abaixo em uma imagem de RM, em que A e B são dois pixels na mesma coluna vertical que ressoam na mesma frequência codificada (ω). Especificamente, na Etapa 0 (linha de base, quando nenhum gradiente de codificação de fase foi aplicado), o sinal total de A&B em conjunto pode ser gravado: Então (t) = A sen ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

...

A partir dessa única medida na Etapa 1, ainda não conhecemos as amplitudes individuais A e B, apenas sua diferença (A-B). Usando as informações da Etapa 0 e da Etapa 1 juntas, podemos extrair as contribuições de sinal exclusivas por álgebra simples:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A-B)] = A    e    ½ [So - S1] = ½ [(A + B) - (A-B)] = B

"

Caso contrário, ficaria assim (imagem A):

PFI mostrando artefatos de vários algoritmos: (A) algoritmo básico, (B) algoritmo BAX, (C) algoritmo de preenchimento zero, (D) algoritmo básico usando dados que possuíam correção SDPS linear constante constante, ilustrando artefatos de SDPS de ordem superior.

$c\cos(\omega t+\phi)$$Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$$Re$$c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$$ae^{\omega t i}$$Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$$c e^{\phi i}$$c$$\phi$

Portanto, embora ambos os sinais afetem a magnitude da saída, um sinal adicional não afetará onde está o espaço de fase da saída.

Eu gostaria de seguir o caminho de uma versão geométrica da pergunta, usando somas de círculos.

Senos e cossenos são "apenas" as partes reais e imaginárias dos cisoides ou exponenciais complexas (algumas referências podem ser encontradas em Como explico intuitivamente um exponencial complexo?) , Gráfico de oscilação 3D para um sinal analítico: saca-rolhas / espiral de Heyser , transformada de Fourier Identidades ).

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$$\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\omega$

$a_1$$a_2$$e^{2 \pi i\phi_1}$$e^{2 \pi i\phi_2}$

$|a|<1$

e assim como:

$(1+ae^{2\pi i\phi})$$\alpha e^{2\pi i\varphi}$$a$O círculo de raio é como uma pequena roda giratória presa à válvula (como os círculos azul e vermelho apenas na figura acima). Agora, observamos o movimento de um ponto no perímetro da pequena roda.

$1$$a$$\alpha$$\ref{a}$$\ref{b}$

Em outras palavras, nem uma transformação de Fourier, nem um olho humano, podem distinguir componentes com a mesma frequência, mas com fases diferentes .

[[Adicionarei animações se encontrar a hora]]