Por que essa transformação bilinear manual produz resultados diferentes dos da Matlab?

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Eu tenho um filtro Butterworth de primeira ordem com a frequência de corte . Sua função de transferência é então $\omega_c$

H (s) = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}}

$H(s) = \frac{\omega_c}{s+\omega_c}$

Usando a transformada bilinear para encontrar um (como é chamada essa função?), Recebo $H(z)$

H (z) = \frac{ω_{c}}{\frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} + ω_{c}} = \frac{ω_{c} z + ω_{c}}{(\frac{2}{T} + ω_{c}) z + ω_{c} - \frac{2}{T}}

$H(z)=\frac{\omega_c}{\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1} + \omega_c} = \frac{\omega_c z + \omega_c}{\left(\frac{2}{T}+\omega_c\right)z + \omega_c-\frac{2}{T}}$

No entanto, não consigo conciliar esse resultado com o que o Matlab está fazendo. Parece errado, não importa o valor da . Assumo que e abaixo estão os coeficientes de . $T$ BA $H(z)$

>> [B,A] = butter(1,0.5)
B = 0.5000    0.5000
A = 1.0000   -0.0000
>> [B,A] = butter(1,0.6)
B = 0.5792    0.5792
A = 1.0000    0.1584
>> [B,A] = butter(1,0.7)
B = 0.6625    0.6625
A = 1.0000    0.3249
>> [B,A] = butter(1,0.8)
B = 0.7548    0.7548
A = 1.0000    0.5095

O que estou entendendo mal?

filters matlab

— Andreas
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O MATLAB não usa conversão de analógico para digital. Ele projeta o filtro digitalmente, portanto, a ideia de transformação bilinear pode não ser aplicável.

— Phonon

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@Phonon: Esta resposta parece indicar que o Matlab usa a transformação bilinear de alguma forma.

— Andreas

Tarde para o jogo aqui, mas todas as funções maiúsculas H de z / s / \ omega são geralmente chamadas de função de transferência. Quando o argumento é tempo ou amostras, é chamado de resposta ao impulso e geralmente é em minúsculas, h. Portanto, a função de transferência é a transformação (Z, Fourier, Laplace, dependendo da aplicação) da resposta ao impulso.

— Emanuel Landeholm

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Algumas coisas:

Antes de fazer a substituição , você precisa pré - aquecer a frequência de corte fazendo a substituição: $s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$

ω_{c, w} = \frac{2}{T} \tan (ω_{c} \frac{T}{2})

$\omega_{c,w} = \frac{2}{T} \tan (\omega_c\frac{T}{2})$

onde é a frequência de corte distorcida. Isso é necessário porque a transformação bilinear mapeia o plano da metade esquerda no domínio Laplace (usado no design do filtro analógico) para o círculo unitário no domínio maneira não linear. Portanto, à medida que você se aproxima da taxa de Nyquist (frequências digitais de ), a aproximação ao protótipo do filtro analógico se torna imprecisa. $\omega_{c,w}$ $z$ $\pm \pi$

Além disso, o segundo parâmetro que você está passando para a butterfunção é a freqüência de corte normalizada, não provar o intervalo . A frequência normalizada usada por essa função está no intervalo e é igual à razão entre a frequência de corte desejada e a taxa de Nyquist: $T$ $(0,1)$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{2 π \frac{f_{s}}{2}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{2 \pi \frac{f_s}{2}}$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{π f_{s}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{\pi f_s}$

ω_{n} = \frac{ω_{c} T}{π}

$\omega_n = \frac{\omega_c T}{\pi}$

— Jason R
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Obrigado! Agora eu recebo os coeficientes certos. Aqui, substitui por na expressão por . Isso funcionou porque eu sei onde a frequência de corte afeta o filtro Butterworth. E se eu tivesse um filtro geral e soubesse os pólos (e zeros) de ? Como eu saberia quais valores substituir?

ω_{c}

$\omega_c$

o m e g a_{c}, w

$omega_c,w$

H (z)

$H(z)$

H (s)

$H(s)$

— Andreas

Porque suponho que a transformação bilinear de um racional possa ser feita sabendo apenas a frequência da amostra, não a frequência de corte (normalizada)?

H (s)

$H(s)$

— Andreas

Você pode usar a conversão bilinear para mapear qualquer sistema domain em uma aproximação no domínio . O pré-aquecimento não é necessário, mas a ressalva de que o sistema de tempo discreto resultante é apenas uma aproximação ao sistema analógico se aplica. O pré-aquecimento de todas as frequências de interesse permite "esticar" o mapeamento para que a região da banda de frequência de que você mais gosta tenha o mínimo de distorção possível do filtro de protótipo.

s

$s$

z

$z$

— Jason R

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Ao abrir o código para a butterfunção do MATLAB , vemos que ele usa pré-distorção de frequência :

%# step 1: get analog, pre-warped frequencies
if ~analog,
    fs = 2;
    u = 2*fs*tan(pi*Wn/fs);
else
    u = Wn;
end

— Phonon
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