Por que a autocorrelação obtém seu pico em zero?

Eu sei que o deslocamento zero na função de autocorrelação é igual à sua energia, mas gostaria de entender por que o pico está em zero.

Você está procurando uma prova formal ou a intuição por trás disso? No caso posterior: "Nada pode ser mais parecido com uma função do que ele próprio". A autocorrelação em lag mede a semelhança entre uma função a mesma função deslocada por . Note-se que se é periódica, deslocado por qualquer múltiplo inteiro de e coincidem, de modo a autocorrelação tem uma forma de pente - com picos nos múltiplos inteiros do período com a mesma altura que o pico central.$\tau$$f$$\tau$$f$$f$$\tau$$f$

A função de autocorrelação de um sinal de energia finita de tempo discreto periódico é dada por para sinais reais e sinais complexos, respectivamente. Restringindo-nos a sinais reais para facilitar a exposição, consideremos a soma . Para o atraso fixo e um dado , normalmente terão valor positivo ou negativo. Se acontecer que, para um determinado atraso , não seja negativo para todos os , todos os termos da soma serão somados (sem cancelamento) e, portanto,

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ $x[m]x[m-n]$$n$$m$$x[m]x[m-n]$$n$$x[m]x[m-n]$$m$$R_x[n]$x [ m - n ] x [ m ] x [ m - n ] x [ m ] x x [ m ] = { sin ( 0,1 π m )é garantido que tenha um valor positivo. De fato, a soma será maior se todos os picos em se alinharem com os picos em e os vales em com os vales em . Por exemplo, se é uma função sinc com excesso de amostra, digamos, com picos em e vales em , então terá o máximo em (e, pelo mesmo token, terá$x[m-n]$$x[m]$$x[m-n]$$x[m]$$x$ $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ $m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$$R_x[n]$n=0,±25,±45,…n=±15,±$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$mínimos em quando os picos se alinham com os vales). O máximo global de está obviamente no atraso quando o pico mais alto em e coincide. De fato, essa conclusão se aplica não apenas a esse sinal sinc, mas a qualquer sinal. No atraso , temos e garantimos que não apenas todos os picos e vales estão alinhados com cada um outro (não importa onde isso ocorra em ), mas também que os picos mais altos e os vales mais profundos estejam alinhados adequadamente.$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$R x [ n ] n = 0 X [ m ] x [ m - n ] n = 0 R X [ 0 ] = ∞ Σ m = - ∞ ( x [ m ] ) 2 x [ m ]$R_x[n]$$n = 0$$x[m]$$x[m-n]$ $n = 0$ $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ $x[m]$

Mais formalmente, para pedantes como @JohnSmith, que exigem provas formais, a desigualdade de Cauchy diz que, para seqüências de valores complexos e , Restringindo-nos a seqüências com valor real apenas para facilitar a exposição, uma versão mais detalhada diz que onde igualdade mantém no limite superior (inferior) se houver um número positivo (negativo) modo que , (ou seja,$u$$v$

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ $\lambda$$u = \lambda v$$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ onde ( )). Reconhecendo que as somas dentro das raízes quadradas são as energias e das seqüências, podemos escrever que Definindo e onde é algum número inteiro, temos que e reconhecendo que agora$\lambda > 0$$\lambda < 0$$\mathcal E_u$$\mathcal E_v$ $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ $u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n]$$n$ $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ $\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$, temos que com igualdade em um dos limites se para todos os . Finalmente, observando que e que quando , a sequência é idêntica à sequência (ou seja, é o número real positivo, de modo que para todos os ), temos que mostrando que tem um valor de pico em $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ $x[m] = \lambda x[m-n]$$m$ $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ $n=0$$u[m] = x[m]$$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$$\lambda = 1$$u[m] = \lambda v[m]$$m$ $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ $R_x[n]$$n=0$, todos os outros valores de autocorrelação são menores que esse pico.

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Quando é um sinal periódico de potência finita, as somas dadas acima para divergem. Nesses casos, usa-se a função de autocorrelação periódica que é o período de , que é, para todos os números inteiros . Observe que é uma função periódica de . Agora, embora seja verdade quepara , o valor máximo também se repete periodicamente:$x[m]$$R_x[n]$

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ $N$$x[m]$$x[m] = x[m-N]$$m$$R_x[n]$$n$$R_x[0] \geq |R_x[n]|$$1 < n < N$$R_x[0]$$R_x[kN] = R_x[0]$ para todos os números inteiros . Observe também que é possível que para alguns , normalmente em se for par, e para que possamos ter vales tão profundos quanto os picos mais altos da função de autocorrelação periódica . O exemplo mais simples dessa sequência é quando e um período da sequência é cuja autocorrelação periódica é apenas a sequência periódica , ou seja, alternando picos e vales com a autocorrelação tendo valor de pico quando$k$$R_x[n] = -R_x[0]$$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$$n = N/2$$N$$N=2$$[1 ~ -1]$$[2 ~ -2]$$R_x[n]$$2$$n$é um número inteiro par (não se esqueça que é um número inteiro par!) e com o valor "anti pico" nos valores ímpares de . De maneira mais geral, temos esse fenômeno sempre que é par e um período pode ser decomposto em .$0$$-2$$n$$N$$\vec{x}$$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

usando

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

pode-se mostrar facilmente que

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

o primeiro termo é simplesmente e o segundo termo é um número não negativo sendo subtraído do primeiro. isso significa que não pode exceder para nenhum .R x [ m ] R x [ 0 ] $R_x[0]$$R_x[m]$$R_x[0]$$m$