Qual é o comprimento FIR ideal, considerando um comprimento de pulso específico?

Estou tentando determinar qual deve ser o comprimento 'ideal' do filtro FIR, dado o comprimento do pulso $T_p$ de um sinusóide de janela em ruído que procuro filtrar.

Como parâmetros em um filtro FIR que eu design, tenho:

1. $F_c = 15 \text{ kHz}$A frequência central. (Esta é a frequência portadora do sinal). Eu sei isso.

2. Como esse é um BPF FIR, especifiquei a banda de passagem como $F_{c} - \frac{1}{T_p}$ para $F_{c} + \frac{1}{T_p}$. Isso ocorre porque a largura de banda do sinusóide da janela é$\frac{2}{T_p}$

3. O último parâmetro que eu não sei exatamente como especificar, é o comprimento desse FIR ... é aqui que estou perdido. Qual é o comprimento ideal aqui, (se houver?) ... Deve ser apenas o comprimento do pulso (em amostras, é claro), tornando-o algo semelhante a um filtro correspondente? Isso significa que não tenho mais ganhos no aumento do comprimento do filtro?

Como contexto adicional, estou buscando esse comprimento "ideal", caso exista, porque estou tentando filtrar o máximo de ruído possível, mas também faço o possível para reter os transientes agudos. Foi isso que me levou a perguntar: existe um comprimento ideal de filtro para começar. Por exemplo, no gráfico a seguir, filtrei uma versão barulhenta do meu sinal, com filtros de comprimento 11 (vermelho) e 171 (preto), respectivamente. Eles são mostrados abaixo:

Como você pode ver, enquanto o resultado em preto é 'mais suave', você pode ver que também é mais 'borrado' na medida em que seus transitórios vão. Por outro lado, o vermelho ainda retém algum ruído, mas os transitórios não são tão afetados.

O gráfico abaixo mostra os espectros dos filtros acima:

TLDR: Então, existe um comprimento 'ideal' para filtros FIR, na medida em que aumentar ainda mais o comprimento do filtro não comprará mais imunidade a ruídos, mas poderá realmente manchar seus transientes ainda mais do que o necessário?

EDITAR:

Eu adicionei duas novas imagens. O primeiro possui filtro de comprimento 11, (vermelho), filtro de comprimento 171, (preto) e filtro de comprimento 901, (azul). O azul espesso é o espectro dos dados.

Aqui estão os resultados correspondentes para o filtro de comprimento 11 (vermelho) e o novo filtro de comprimento 901 (preto).

Estou convertendo alguns dos meus comentários de cima para esta resposta:

Se você está tentando detectar a presença de alguma forma de pulso $p(t)$ no canal AWGN, o detector ideal usa um filtro que corresponde à forma do pulso $p(t)$(apropriadamente chamado de filtro correspondente ); isso maximiza a relação sinal-ruído (SNR) na saída do filtro e, portanto, fornece a melhor estatística de detecção. Essa abordagem é equivalente a uma correlação cruzada deslizante da forma do pulso com o sinal observado, expresso matematicamente da seguinte maneira:

Onde $x(t)$ é o sinal observado e $d(t)$ é a estatística de detecção resultante.

O principal problema, portanto, consiste na seleção de um limite apropriado que pode ser usado para determinar onde os pulsos de interesse ocorrem $x(t)$. Especificamente, um indicaria uma detecção quando$d(t) > T$, Onde $T$é um limite usado para equilibrar entre duas métricas de desempenho opostas: probabilidade de detecção $P_d$e probabilidade de alarme falso $P_{fa}$. Aqui está um link para uma resposta anterior, em que falo um pouco mais sobre o tradeoff . Os valores-alvo para essas métricas seriam escolhidos de acordo com os requisitos para sua aplicação específica.

Nesse caso, podemos criar expressões gerais para $P_d$ e $P_{fa}$ muito facilmente:

• Probabilidade de alarme falso: Um "alarme falso" indica um caso em que o detector relata a presença do pulso alvo$p(t)$quando na verdade não está presente. Como definimos o canal como AWGN, isso significa que, para um alarme falso, o sinal de entrada$x(t)$é um processo de ruído gaussiano branco (WGN). Sem perda de generalidade, assumiremos que o ruído seja zero-médio com variação$\sigma^2$.

  Para determinar $P_{fa}$, estamos preocupados com a aparência do sinal na saída do filtro correspondente. Lembre-se que$d(t)$ é definido como:

  $$d(t) = x(t) * p(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) p(t-\tau) d\tau$$

  Assumindo que $x(t)$ é um processo de ruído gaussiano branco com variância $\sigma^2$, pode ser mostrado que $d(t)$ também será gaussiano, com uma variação igual a:

  $$\sigma_d^2 = \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} |p(t)|^2 dt$$

  Ou seja, a variação na saída do filtro correspondente é escalada apenas pela energia total da forma de onda de pulso $p(t)$. A estatística de detecção$d(t)$ é então apenas um processo gaussiano com variância $\sigma_d^2$. A probabilidade de um alarme falso a qualquer momento$t$ é igual à probabilidade de a estatística de detecção exceder o limite $T$. Usando as propriedades da distribuição gaussiana , podemos escrever isso como:

  $$\begin{align} P_{fa} &= P(d(t) > T\ | \text{ no signal present}) \\ &= 1 - F_d(T) \\ &= Q\left(\frac{T}{\sigma_d}\right) \end{align}$$

  Onde $F_d(d)$é a função de distribuição cumulativa (CDF) da distribuição gaussiana e$Q(x)$é a função-Q .

• Probabilidade de detecção: Este caso difere do caso de falso alarme, pois o sinal de interesse está presente. Especificamente, examinamos a situação em que o filtro correspondente está perfeitamente alinhado com o pulso de interesse. O mesmo componente de ruído que analisamos anteriormente está presente, mas a autocorrelação da forma de pulso desejada fornece uma média diferente de zero. Essa média é igual à energia total da forma de onda de pulso:

  $$\mathbb{E}\left(d(t)\right) = \int_{-\infty}^{\infty} |p(t)|^2 dt$$

  A probabilidade de detecção, portanto, é a probabilidade de a estatística de detecção exceder o limite:

  $$\begin{align} P_{d} &= P(d(t) > T\ | \text{ signal present}) \\ &= 1 - F_d(T) \\ &= Q\left(\frac{T - m_d}{\sigma_d}\right) \end{align}$$

O processo de design ficaria assim:

• Selecione uma faixa de operação para o seu detector, definindo uma relação sinal-ruído mínima (ou equivalente, uma variação máxima de ruído $\sigma^2$) em que você operará.

• Supondo as piores condições (ou seja, o nível máximo de ruído), selecione um limite $T$ que atenda às suas necessidades $P_d$ ou $P_{fa}$ (o que for mais importante para você).

• Conecte o valor resultante para $T$ na outra equação para determinar suas métricas de desempenho previstas.

Este é um tratamento de alto nível para o problema e, se você começar a trabalhar tentando criar algo que funcione praticamente, você encontrará alguns outros detalhes da nota:

• Uma coisa que pode ser relevante para o seu problema de detecção de sinusoides é que é provável que os pulsos recebidos estejam em alguma fase inicial desconhecida $\phi$ em relação ao seu formato de pulso do modelo $p(t)$. Você observaria uma redução no pico de correlação com base na quantidade de deslocamento de fase, o que causará estragos no desempenho do seu detector. Se for esse o caso, um não-coerente detector é uma abordagem melhor:

  $$d_1(t) = x(t) * p(t)$$ $$d_2(t) = x(t) * p_Q(t)$$ $$d(t) = \sqrt{d_1^2(t) + d_2^2(t)}$$

  Onde $p_Q(t)$é uma versão deslocada de 90 graus (ou em quadratura ) do pulso senoidal modelo. As estatísticas deste caso são um pouco diferentes e são deixadas como um exercício para o leitor interessado.

• O tratamento acima assume que o pulso é recebido em $x(t)$ no mesmo nível de potência do modelo $p(t)$, que é quase certo que é falso. Duas maneiras de abordar essa complicação vêm à mente: ou use algum tipo de processo de controle automático de ganho (AGC) para direcionar o nível de potência recebido para o que você esperaria, ou você pode$T$ um limiar adaptável que se ajusta em relação ao sinal observado (por exemplo, você pode tentar estimar a variação do ruído de fundo $\sigma^2$ e depois defina $T$ adequadamente).

Para obter o "melhor" filtro, você precisa seguir algumas etapas

1. Determine o espectro do seu sinal: o espectro de um pulso senoidal em janela é basicamente dado pela função da janela convoluida com a portadora. Como a transportadora é uma onda senoidal, a convolução simplesmente muda o espectro da janela. No entanto, a forma da janela é importante: ela é elevada em cosseno, hanning, hamming, kaiser etc. Isso determina a largura da largura de banda e se há lóbulos laterais fortes que precisam ser mantidos.
2. Determine o espectro do ruído: isso é mais fácil, observando o espectro em áreas do sinal em que há apenas ruído
3. Observe o espectro de sinal e ruído. Frequências úteis são aquelas em que a energia do sinal é maior que o ruído. Frequências "ruins" são aquelas em que o ruído é maior.
4. Crie uma especificação de filtro que passe as frequências "úteis" e "rejeite" as ruins. A quantidade de rejeição pode ser otimizada usando uma abordagem chamada "Wiener Filter" http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_filter . Em uma pitada, um passe de banda também serve.
5. A especificação do filtro deve ter pelo menos frequência central, largura de banda e inclinação íngreme. Mais coeficientes de filtro geralmente tornam a banda de passagem mais plana e a rolagem mais íngreme. Olhar novamente para um gráfico de sinal para ruído normalmente indica o que faz sentido

O comprimento do filtro FIR determinará a precisão do filtro FIR. O filtro FIR é uma aproximação da resposta ótima do filtro (que é para você decidir) e não deve estar ligada à duração do "pulso". Quanto mais longo o filtro FIR, mais coeficientes você possui, mais precisa é a resposta da magnitude do filtro conforme suas especificações. Há duas outras questões a serem consideradas. Você deve considerar a resposta da fase, pois isso pode distorcer a forma do pulso desmodulado. Você já deve estar fazendo isso, mas acho que provavelmente deseja que seu filtro FIR tenha fase linear. Além disso, à medida que aumenta o comprimento do filtro FIR, você adiciona o atraso da entrada para a saída, para que você não queira apenas fotografar a lua em termos de comprimento do filtro. Então, em termos de tamanho ideal,