Derivando transformadas discretas de Fourier em 2D

Eu tenho um problema no DFT. Foi uma das minhas perguntas dos documentos do exame do ano passado.

Questão:

Deixei $F(u,v)$ ser a transformada 2D de Fourier de uma função contínua 2D $f(x,y)$. Derivar em termos de$F(:,:)$ a transformada 2D de Fourier de cada uma das seguintes funções

1) $f(x,-2y)$

2) $f(x+2y,y)$

Eu sei como fazer transformações de Fourier em 1-D, mas não em 2-D. Não sei ao certo como começar e preciso de alguma orientação.

Para a segunda parte, essa foi a minha abordagem. Entre em contato se estiver certo ou me corrija se estiver errado.

Seja portanto, x = τ-2y e dx = dτ \ begin {align}} mathfrak {F} \ {f (x + 2y, y) \} & = ∬ f (τ, y) e ^ { −j2π (u (τ-2y) + vy)} dx \ dv \\ \ mathfrak {F} \ {f (x + 2y, y) \} & = ∬ f (τ, y) e ^ {- j2π ( uτ + (- 2u + v) y)} dx \ dτ \\ \ mathfrak {F} \ {f (x + 2y, y) \} & = F (u, -2u + v) \ end {align} $τ= x + 2y$$x = τ-2y$$dx = dτ$

Aqui está o primeiro:

Por definição,

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = \iint_{- \infty}^{\infty} f(x,-2y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$

let e inversamente$\tau = -2y$$y=\frac{-\tau}{2}$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = \iint_{- \infty}^{\infty} f(x,\tau)e^{-j2\pi (ux-\frac{v\tau}{2})}dxd(-\frac{\tau}{2})$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = -\frac{1}{2}\iint_{- \infty}^{\infty} f(x,\tau)e^{-j2\pi (ux-\frac{v\tau}{2})}dxd\tau$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = -\frac{1}{2} F(u,-\frac{v}{2})$

O outro será mais difícil, mas deixarei para você.