Qual é a diferença entre a transformação wavelet de Gabor-Morlet e a transformação Q constante?

À primeira vista, a transformada Q-constante de Q e a transformada wavelet complexa de Gabor-Morlet parecem as mesmas. Ambas são representações de frequência de tempo, baseadas em filtros Q constantes, sinusóides em janelas, etc. Mas talvez haja uma diferença que eu esteja perdendo?

O Constant-Q Transform Toolbox para processamento de músicas diz:

CQT refere-se a uma representação de frequência de tempo em que os compartimentos de frequência são geometricamente espaçados e os fatores Q (relações entre as frequências centrais e as larguras de banda) de todos os compartimentos são iguais.

A análise de escala de tempo diz:

Ou seja, o computar CWT de um sinal utilizando o Morlet wavelet é o mesmo que o sinal que passa através de uma série de filtros passa-banda centrado em $f = \frac{5/2\pi}{a}$ com constante Q de $5/2\pi$ .

— endólito
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Respostas:

Simplesmente falando, a transformação const-Q e a transformação de wavelet de Gabor-Morlet são apenas transformações de wavelet contínuas. Ou, mais precisamente, aproximações, pois sempre haverá problemas de discretização em aplicações reais.

Uma propriedade das transformadas wavelet é que elas são construídas na propriedade constante do fator Q ou, em outras palavras, em escala logarítmica. Gabor e Morlet são apenas dois nomes de uma função wavelet específica (exponenciais complexas com uma janela gaussiana) que é usada com mais frequência. A transformação CQ usa apenas outra função básica / wavelet e possui um nome especial, provavelmente por algum motivo histórico.

— André Bergner
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É importante notar que as várias wavelets que foram desenvolvidas oferecem diferentes decomposições dos sinais que são usadas para estudar. Wavelets específicas são escolhidas para revelar características de sinal específicas de uma maneira específica. Ao calcular os coeficientes da wavelet, você executa uma correlação da wavelet escolhida com o sinal de interesse; assim, a forma da wavelet determina a forma das características do sinal que são reveladas.

Algumas funções de wavelets foram "projetadas" para fornecer decomposições que podem se relacionar com decomposições de Fourier (na verdade, mais alinhadas com as decomposições de Fourier de curto prazo usadas para produzir espectrogramas de sinais). A wavelet de Morlet é um bom exemplo dessa função. Outras wavelets foram "projetadas" para identificar descontinuidades ou bordas de sinais. Eu já vi artigos que usam as funções de wafelet Daubechies para isso.

Pode ser útil fazer algumas pesquisas para ver como cada uma das funções da wavelet mencionadas está sendo usada na prática. Eu acho que isso lhe dará uma melhor compreensão de como as várias wavelets diferem.

— user2718
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A questão é especificamente apenas sobre a wavelet de Morlet e como ela se relaciona com a transformação Q constante, que também é um tipo de decomposição de Fourier. Existe alguma diferença entre eles ou são reinventações da mesma coisa? Eu também encontrei o algoritmo "Ponto Fixo por Oitava (FPPO)", que "utiliza uma janela de tempo de medição que varia em função da frequência, utilizando uma janela de tempo longo em baixas frequências (para resolução de frequência estreita) e uma sucessivamente mais curta janela de tempo em altas frequências " rationalacoustics.com/files/FFT_Fundamentals.pdf

— endolith

Publiquei um comentário específico sobre a pergunta. Meu outro post pretendia incentivar o pôster a entender como as transformações de wavelets são únicas e por que faz sentido desenvolver transformações com base em diferentes funções da wavelet.

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"Existe alguma diferença entre eles ou são reinventações da mesma coisa?" Eles são diferentes. A base dos métodos de Fourier é baseada em funções sinusais e não possui resolução de escala de tempo. As versões com janelas da transformação de Fourier se aproximam do que é feito com wavelets. As transformadas Wavelet são baseadas em funções básicas compactas e a transformação é uma representação de tempo / escala em vez de representação de tempo / frequência. Algumas funções da wavelet imitam os métodos de Fourier por design, mas isso não é um requisito.

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A transformação Q constante não é uma transformação wavelet. A transformação Q constante é uma variação específica da transformada de Fourier de curto prazo, na qual os compartimentos de frequência são espaçados exponencialmente em vez de espaçados linearmente, como é o caso da transformada de Fourier discreta.

Veja: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform para obter detalhes.

Algumas transformações de wavelets também são consideradas transformações Q constantes, porque nas versões discretas das transformações, a escala da wavelet varia exponencialmente (a base é 2 neste caso). De acordo com o seguinte artigo da Universidade de Stanford ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Quando a wavelet mãe pode ser interpretada como um senoide com janela (como a wavelet de Morlet), a transformação wavelet pode ser interpretada como uma transformação Q-Fourier constante.12.5 Antes da teoria das wavelets, as transformações Q-Fourier constantes (como obtidas de um banco de filtro de terceira oitava clássico) não era fácil de inverter, porque os sinais básicos não eram ortogonais. Veja o Apêndice E para discussão relacionada.

— user2718
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"A constante transformação Q não é uma transformação wavelet." Como assim?

— endolith 15/01

Provavelmente, isso é um problema semântico, mas a "transformação Q constante" desenvolvida a partir da transformação de Fourier a curto prazo, portanto, nenhuma função wavelet é usada na análise. É semelhante à análise de wavelets, pois os compartimentos de frequência são espaçados exponencialmente. As transformadas Wavelet especificamente não lidam com frequência. Wavelet transforma apenas lidar com escala. A combinação de escala e função de wavelet pode estar relacionada à frequência, mas as duas coisas não são as mesmas.

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Pelo que li, a wavelet de Gabor-Morlet foi a primeira transformação contínua de wavelet, e foi focada na frequência, não na escala, pois foi derivada da transformação de Gabor, que é uma transformação de Fourier com janelas. Ignorando as diferenças semânticas, há uma diferença na maneira como o CQT e o Morlet WT são calculados?

— Endolith

Não são matematicamente equivalentes, supondo que a função da janela seja a mesma e a wavelet seja feita de um exponencial complexo?

— Endolith

Eu acho que você pode organizar uma transformação Fourier com janelas que é equivalente a uma transformação wavelet. Normalmente, na aplicação da transformação Q constante, a função de janela não é escolhida para impor as condições de admissibilidade exigidas das wavelets; portanto, em geral, a transformação Q constante não é a mesma que uma transformação wavelet. As condições de admissibilidade para wavelets garantem que a análise seja reversível (ou seja, você pode reconstruir seu sinal de tempo a partir dos resultados da transformação), o que geralmente não é verdadeiro para a transformação Q constante.

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