Como 'embranquecer' um sinal no domínio do tempo?

Estou tentando entender como implementar exatamente o que é conhecido como filtro de 'pré-clareamento' ou simplesmente um filtro de 'clareamento'.

Entendo que o objetivo é torná-lo um delta como sua função de autocorrelação, mas não tenho certeza de como fazer isso exatamente.

O contexto aqui é o seguinte: Um sinal é recebido em dois receptores diferentes e sua correlação cruzada é calculada. A correlação cruzada pode parecer um triângulo ou alguma outra forma esquecida por Deus. Devido a isso, torna-se difícil encontrar o pico do sinal de correlação cruzada. Nesse caso, eu ouço sobre ter que "branquear" os sinais antes que uma correlação cruzada seja executada neles, de modo que a correlação cruzada seja agora mais parecida com um delta.

Como isso é feito?

Obrigado!

Suponha que você tenha sinais e y ( t ) cuja função correlação cruzada R x , y ( t ) não é algo que você gosta; você quer R x , y para ser impulso-like. Observe que no domínio da frequência, F [ R x , y ] = S x , y ( f ) = X ( f ) Y ∗ ( f ) $x(t)$$y(t)$$R_{x,y}(t)$$R_{x,y}$

$$\mathcal{F}[R_{x,y}] = S_{x,y}(f) = X(f)Y^*(f).$$ Assim, a filtrar os sinais através de filtros lineares e h , respectivamente, para obter x ( t ) = x * g , X ( f ) = X ( f ) L ( f ) , e y = y * H , Y ( f ) = Y ( f ) H ( f ) , e agora a função de correlação cruzada é $g$$h$$\hat{x}(t) = x*g$$\hat{X}(f) = X(f)G(f)$$\hat{y} = y*h$$\hat{Y}(f) = Y(f)H(f)$ , cuja transformação de Fourier é F [ R x , y ] = S x , y ( f $R_{\hat{x},\hat{y}}$ isto é, R x , y , é a correlação cruzada deRx,ycom Rh,g. Mais importante, você quer escolhergehpara que adensidade espectral cruzadaG(f $$\begin{align*} \mathcal{F}[R_{\hat{x},\hat{y}}] = S_{\hat{x},\hat{y}}(f) &= [X(f)G(f)][Y(f)H(f)]^*\\ &= [X(f)Y^*(f)][G(f)H^*(f)]\\ &= [X(f)Y^*(f)][G^*(f)H(f)]^*, \end{align*}$$ $R_{\hat{x},\hat{y}}$$R_{x,y}$$R_{h,g}$$g$$h$ de g e h é o inverso multiplicativo do espectral cruzada densidade X ( f ) Y * ( f ) de x e y , ou algo parecido com isso. Se você possui apenas um sinal e um filtro, obtém o resultado fornecido por Hilmar (com a alteração dada pelo meu comentário lá). Em ambos os casos, a questão de compensar nulos espectrais, ou geralmente bandas de frequência em que os sinais têm pouca energia ainda permanece.$G(f)H^*(f)$$g$$h$ $X(f)Y^*(f)$$x$$y$

O pré-clareamento pode ser feito filtrando com uma função de transferência que é aproximadamente o inverso do espectro de potência do sinal. Digamos que você tenha um sinal de áudio aproximadamente rosa. Para clarear isso, você aplicaria um filtro cor-de-rosa inverso (a resposta de frequência aumenta em 3 dB por oitava).

No entanto, não tenho certeza se isso ajudará no seu problema. O pré-clareamento tende a amplificar as partes de baixa energia no sinal, que podem ser barulhentas e, portanto, aumentar o ruído geral no seu sistema. Se você estiver tentando determinar se dois sinais estão alinhados no tempo (ou qual é o alinhamento do tempo), existe alguma imprecisão inerente no problema relacionada à largura de banda do sinal. Isso é exatamente representado no formato do domínio do tempo da função de autocorrelação. 

Geralmente, existe um método simples de clarear um vetor $\bf x$dado um exemplo de conjunto de dados. Não está claro em sua pergunta se a dimensão de$\bf x$seria 2 ou se você estiver incluindo uma janela temporal deslizante. De qualquer forma, você deseja correlacionar os componentes de$\bf x$. Fazê-lo no domínio da frequência para um problema tão simples é árduo.

Supondo que você comece com um conjunto de dados de exemplo que consiste em amostras dos vetores de dados - esse pode ser um conjunto de amostras dos dois sinais em momentos diferentes. Você subtrai a média do conjunto de dados para que a média de$\bf x$é zero. Então você precisa calcular a matriz de covariância dos dados$C_{ij} = \frac{1}{N}\sum_{{\bf x}\in Data}x_i x_j$ Onde $N$ é o número de exemplos de dados e $i,j$ são índices dos componentes de $\bf x$, que, se houver 2 sinais, passa de 0 a 1. A matriz de covariância nesse caso será apenas 2x2.

Depois de ter essa matriz de covariância, é possível calcular uma transformação de clareamento na forma de uma matriz para multiplicar os dados para obter a versão clareada. A covariância desses novos dados embranquecidos é a matriz de identidade.

Os dados clareados serão ${\bf y} = C^{-1/2}{\bf x}$. Esta é apenas uma versão matricial do cálculo da variação sobre um conjunto de dados de exemplo e, em seguida, da divisão de quaisquer novos dados pela raiz quadrada da variação, a fim de normalizar seu desvio padrão.

Você pode calcular $C^{-1/2}$ usando decomposição de Cholesky onde $C=LL^T$. Para uma matriz 2x2, é muito fácil usar álgebra simples . Os dados embranquecidos são dados por${\bf y}=L^{-1}{\bf x}$, que desde $L$ O triangular inferior pode ser calculado com eficiência por solucionadores comuns sem formar o inverso.

Se é apenas como filtrar as partes de baixa energia no sinal, você poderia usar um filtro passa-baixo? Existem algumas implementações sobre isso.

Se isso é útil: Este artigo de Karjalaien et. al é sobre o filtro de clareamento e o método de previsão linear distorcida, que é usado pelo filtro.