Interpretação dos autovalores do Hessiano inverso em um rastreador KLT

Sou estudante de mestrado, preparando um seminário em visão computacional. Entre os tópicos está o rastreador Kanade-Lucas-Tomasi (KLT), conforme descrito em

J. Shi, C. Tomasi, "Bons recursos para rastrear" . Processo CVPR '94.

Aqui está um recurso da Web que estou usando para entender o rastreador KLT. Preciso de ajuda com a matemática, pois estou um pouco enferrujado em álgebra linear e não tenho experiência anterior com visão computacional.

Nesta fórmula para (etapa 5 no resumo), observe o Hessiano inverso: $\Delta p$

Δ p = H^{- 1} Σ_{x} {[\nabla Eu \frac{\partial W}{\partial p}]}^{T} [T (x) - Eu (W (x; p))]

$\Delta p = H^{-1}\Sigma_x\left[\nabla I \frac{\partial W}{\partial p}\right]^\mathsf{T} \left[T(x) − I(W(x; p))\right]$

No artigo, boas características para rastrear são definidas como aquelas em que a soma das matrizes inversas de Hessian tem grandes valores próprios semelhantes: . Eu não conseguia entender como e de onde isso é derivado, matematicamente. $\min(\lambda_1,\lambda_2)>threshold$

A intuição é que isso representa um canto; Entenda isso. O que isso tem a ver com autovalores? Espero que, se os valores do Hessian forem baixos, não haverá mudança e não haverá um canto. Se eles são altos, é um canto. Alguém sabe como a intuição da cornualidade entra em jogo nos autovalores do Hessiano inverso para determinar $\Delta p$ através de iterações do rastreador KLT?

Consegui encontrar recursos alegando que o Hessian inverso se correlaciona com a matriz de covariância da imagem. Além disso, a covariância da imagem indica a mudança de intensidade, e então faz sentido ... mas não consegui encontrar o que exatamente é uma matriz de covariância da imagem em relação a uma imagem, e não a um vetor ou a uma coleção de imagens.

Além disso, os autovalores têm significado na análise de componentes em princípio, e é por isso que recebo a ideia de uma matriz de covariância de imagens, mas não sei como aplicar isso ao Hessian, como geralmente é aplicado a uma imagem. O Hesse, tanto quanto eu entendo, é um matriz definindo as 2nd derivados de , , e em um determinado local $2\times 2$ $x$ $y$ $xy$ $(x,y)$ .

Eu realmente aprecio a ajuda com isso, já que estou nele há mais de 3 dias, é apenas uma fórmula pequena e o tempo está se esgotando.

computer-vision

— Lorem Ipsum
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ok, eu consegui isso através de vários recursos da Web sobre curvatura principal, geomatria diferencial, número de condição da matriz (matriz bem condicionada). ainda preciso formular uma explicação razoável para o seminário. assim que o tiver, publico-o aqui ou vinculo esta página ao seminário.

Pense neles como termos de suavidade 2D.
Quanto mais suave o patch, menor a classificação da matriz e mais próxima a matriz está de ser singular.

Em uma aresta reta (não em um canto), apenas um valor próprio será grande.
Em uma esquina, ambos serão grandes.

Usar valores próprios significa que o ângulo da aresta não é um fator e, em qualquer ângulo, uma aresta dará apenas um grande ev

— Adi Shavit
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Obrigado pela sua resposta. Encontrei muitos recursos dando intuições semelhantes e discutindo o problema de abertura. a intuição é e foi clara. minha pergunta era de natureza mais matemática e, uma vez que encontrei a resposta, ficou muito mais simples. apenas propriedades básicas da matriz. autovalores semelhantes significam que a matriz está bem condicionada e o autovalor máximo é limitado; portanto, fornecer um limite inferior torna os autovalores semelhantes. além disso, os autovalores se correlacionam com as principais curvaturas do hessiano. esta é a informação que eu estava procurando na época.

reli sua resposta e acho o comentário sobre os autovalores e o ângulo perspicaz. obrigado por compartilhar isso comigo.

Você deve marcá-lo como "Respondido" então.

— Adi Shavit