Componentes I e Q e a diferença entre QPSK e 4QAM

Aparentemente, o 4QAM e o QPSK aparentemente produzem a mesma forma de onda, mas são matematicamente iguais?

Em uma constelação QPSK, os pontos de mapeamento estão em 45, 135, 225 e 315 graus enquanto o 4QAM está em 0, 90, 180 e 270?

Também luto para entender os componentes de I / Q desse diagrama de constelação. O que realmente significa "inphase" e "quadrature-phase"? Eles são apenas outra maneira de especificar a parte real e imaginária para esse tipo de uso?

As constelações QPSK e $4$ QAM têm pontos de sinal a $45, 135, 225$ e $315$ graus (observe o erro de digitação na sua pergunta). Elas surgem da modulação de amplitude (ou, se você preferir, modulação de fase ) de dois sinais portadores (chamados portadores em fase e em quadratura) ortogonais (o que significa que diferem na fase em 90 graus. A representação canônica de um QPSK ou $4$ - O sinal QAM durante um intervalo de símbolo é

$$s(t) = (-1)^{b_I}\cos(2\pi f_c t) - (-1)^{b_Q}\sin(2\pi f_c t)$$ onde$\cos(2\pi f_c t)$ e $-\sin(2\pi f_c t)$ são ossinais portadores emfasee emquadraturana frequência$f_c$ Hz e$b_I, b_Q \in \{0,1\}$ são os dois bits de dados (chamados de bits de dados em fase e em quadratura, naturalmente, uma vez que são transmitidos nos portadores em fase e em quadratura). Observe que o portador em fase$\cos(2\pi f_c t)$ temamplitude $+1$ ou $-1$ conforme o bit de dados em fase tem valor$0$ ou$1$ , e da mesma forma o portador em quadratura$-\sin(2\pi f_c t)$ temamplitude $+1$ ou $-1$conforme o bit de dados em quadratura tem o valor $0$ ou $1$ . Algumas pessoas consideram isso uma inversão do esquema normal das coisas, afirmando didaticamente que amplitudes positivas devem ser associadas a $1$ bits de dados e amplitudes negativas a $0$ bits. Mas se olharmos para ele a partir da fase de perspectiva de modulação, um $0$ meio bit que o transportador ( $\cos(2\pi f_c t)$ ou $-\sin(2\pi f_c t)$ como o caso) é transmitida com nenhuma mudança na Estágioenquanto um bit de $1$ cria uma mudança de fase (vamos pensar nisso como um atraso de fase ) de $180$ graus ou $\pi$ radianos. Na verdade, outro modo de expressar o QPSK / $4$ sinal -QAM é como $$s(t) = \cos(2\pi f_c t - b_I\pi) - \sin(2\pi f_c t - b_Q\pi)$$ o que torna o ponto de vista da modulação de fase muito claro. Mas, independentemente de qual ponto de vista usamos, durante um intervalo de símbolos, o sinal QPSK / $4$ -QAM é um dos quatro sinais a seguir : $$\sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{\pi}{4}\right),\\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{3\pi}{4}\right),\\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{5\pi}{4}\right),\\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{7\pi}{4}\right)$$ correspondendo a$(b_I,b_Q) = (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$respectivamente.

Observe que o ponto de vista adotado aqui é o QPSK, consistindo em dois sinais BPSK em portadoras de fase-ortogonais . O desmodulador consiste, portanto, em dois receptores BPSK (chamados ramo em fase e ramo em quadratura, o que mais?). Uma visão alternativa do QPSK, como alterar a fase de uma única transportadora, dependendo de um símbolo de valor $4$ é desenvolvida um pouco mais tarde.

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O sinal QPSK / $4$ QAM também pode ser expresso como

$$s(t) = \text{Re}\{B \exp(j2\pi f_c t)\} = \text{Re}\{[(-1)^{b_I}+j(-1)^{b_Q}] \exp(j2\pi f_c t)\}$$ onde $B$ é o símbolo da banda base com valor complexoassumindo valores em $\{\pm 1 \pm j\}$ e que, quando plotados no plano complexo, dão pontos de constelação distantes $\sqrt{2}$ da origem e a $45, 135, 225$e$315$graus correspondentes aos bits de dados$(b_I,b_Q) = (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ respectivamente. Observe quepares de bitscomplementaresestão na diagonal um do outro, de forma queerros de bit duplosão menos prováveis ​​que erros de bit único. Observe também que os bits ocorrem naturalmente ao redor do círculo na ordem do código Gray ; não há necessidade de massagear um dado par de bits de dados $(d_I,d_Q)$ (digamos $(0,1)$ ) de "representação natural" (onde significa o número inteiro $2 = d_I+2d_Q$ : $d_I$ é o LSB e $d_Q$ o MSB aqui) para "representação de código Gray" $(b_I,b_Q) = (1,1)$ do número inteiro$2$ como algumas implementações parecem insistir em fazer. Com efeito, tais massagem conduz amais pobredesempenho BER desde odescodificado $(\hat{b}_I,\hat{b}_Q)$ deve serummassagedno receptor para osdados descodificadosos bits$(\hat{d}_I,\hat{d}_Q)$ fazendo com que oúnico canal de erro de bits $$(b_I,b_Q) = (1,1) \to (\hat{b}_I,\hat{b}_Q) = (1,0)$$ para odobrode erro de bits de dados $${(d_I,d_Q) = (0,1) \to (b_I,b_Q) = (1,1)\to (\hat{b}_I,\hat{b}_Q) = (1,0)}\to (\hat{d}_I,\hat{d}_Q) = (1,0).$$

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Se atrasarmos os quatro sinais possíveis exibidos acima em $45$ graus ou $\pi/4$ radianos (subtrair $\pi/4$ radianos do argumento do cosinusóide), obtemos

$$\sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{\pi}{4}\right)\Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + 0\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\cos(2\pi f_c t),\\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{3\pi}{4}\right)\Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + 1\frac{\pi}{2}\right) = -\sqrt{2}\sin(2\pi f_c t),\\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{5\pi}{4}\right) \Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + 2\frac{\pi}{2}\right) = -\sqrt{2}\cos(2\pi f_c t) \\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{7\pi}{4}\right)\Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + 3\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\sin(2\pi f_c t),\\$$ que fornece os quatro pontos de constelação em $0,90,180,270$ graus referidos pelo OP. Este formulário nos fornece outra maneira de visualizar a sinalização QPSK: um único sinal portador cuja fase assume quatro valores, dependendo do símbolo de entrada que assume valores $\{0,1,2,3\}$ . Expressamos isso em forma de tabela. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline (b_I,b_Q) & \text{normal value} ~k & \text{Gray code value} ~\ell & \text{signal as above} &\text{phase-modulated signal}\\ \hline (0,0) & 0 & 0 & \sqrt{2}\cos(2\pi f_c t) & \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - 0\frac{\pi}{2}\right)\\ (0,1) & 1 & 1 & \sqrt{2}\sin(2\pi f_c t) & \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - 1\frac{\pi}{2}\right)\\ (1,1) & 3 & 2 & -\sqrt{2}\cos(2\pi f_c t) & \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - 2\frac{\pi}{2}\right)\\ (1,0) & 2 & 3 & -\sqrt{2}\sin(2\pi f_c t) & \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - 3\frac{\pi}{2}\right)\\ \hline \end{array}$$ $(b_I,b_Q)$$\ell \in \{0,1,2,3\}$ $$\sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - \ell\frac{\pi}{2}\right).$$ In other words, the phase of carrier $\sqrt{2}\cos(2\pi f_c t)$ is modulated (changed from $0$ to $\ell\frac{\pi}{2}$) in response to the input $\ell$.

So how does this work in real life or MATLAB, whichever comes first? If we define a QPSK signal as having value $\sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - \ell\frac{\pi}{2}\right)$ where the value of $\ell$ is typed in as 0 or 1 or 2 or 3, we will get the QPSK signal described above, but the demodulator will produce the bit pair $(b_I, b_Q)$ and we must remember that the output is $\ell$ in Gray code interpretation, that is, the demodulator output will be $(1,1)$ if $\ell$ happened to have value $2$, and interpreting output $(1,1)$ as $3$ is a decoding error that is not generally discussed in textbooks!