Qual é a explicação mais lúcida e intuitiva para os vários FTs - CFT, DFT, DTFT e as séries de Fourier?

Mesmo depois de estudá-los há algum tempo, costumo esquecer [se estou fora de contato por um tempo] como eles estão relacionados um com o outro e o que cada um representa [já que eles têm nomes semelhantes]. Espero que você tenha uma explicação que seja tão intuitiva e matematicamente bonita que eles fiquem embutidos na minha memória para sempre e esse tópico sirva como uma atualização super rápida sempre que eu [ou qualquer outra pessoa] precisar.

Eu escrevi este folheto como um complemento para Oppenheim e Willsky . Veja a Tabela 4.1 na página 14, reproduzida abaixo. (Clique para ampliar a imagem.) Escrevi essa tabela especificamente para responder a perguntas como a sua.

Observe as semelhanças e diferenças entre as quatro operações:

1. "Séries": periódicas no tempo, discretas na frequência
2. "Transform": aperiódico no tempo, contínuo em frequência
3. "Tempo Contínuo": contínuo no tempo, aperiódico na frequência
4. "Tempo discreto": discreto no tempo, periódico na frequência

Espero que você ache essas anotações úteis! Por favor, sinta-se livre para distribuir como desejar.

Para uma explicação lúcida e correta desses conceitos, você precisaria ler alguns dos livros-texto padrão (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis ou "Understanding Digital Signal Processing", de Richard Lyons, que é um livro muito bom, mas relativamente menos popular) . Mas, assumindo uma discussão na mesa de café, farei algumas declarações extremamente frouxas a seguir. :)

Para um sinal de tempo contínuo geral, você não espera que nenhuma frequência em particular esteja ausente; portanto, sua Transformada de Fourier (ou a Transformada contínua de Fourier) seria uma curva contínua com suporte possivelmente -inf a + inf.

Para um sinal contínuo periódico (período T), Fourier expressou o sinal como uma combinação de senos e co-senos com o mesmo período (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...). Efetivamente, o espectro desse sinal é uma série de picos nos locais 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... Isso é chamado de representação da Série Fourier. Existe um teorema que diz que a representação da série de Fourier de qualquer sinal de tempo contínuo periódico converge para o sinal à medida que você inclui mais e mais senos e cossenos (ou exponenciais complexos) no sentido quadrado médio.

Moral até agora: periodicidade no tempo => espectro espetado

Ativado para tempo discreto ... O que acontece se você amostrar um sinal de tempo contínuo? Deve ficar claro que, para um sinal suficientemente alto, você não seria capaz de reconstruí-lo. Se você não fizer suposições sobre as frequências no sinal, e dado o sinal amostrado, não há como dizer qual é o verdadeiro sinal. Em outras palavras, diferentes frequências são representadas equivalentemente no sinal de tempo discreto. Passando por algumas contas, você pode obter o espectro do sinal amostrado a partir do sinal contínuo original. Quão? Você altera o espectro do sinal de tempo contínuo em quantidades + -1 / T, + -2 / T, ... e adiciona todas as cópias deslocadas (com alguma escala). Isso fornece um espectro contínuo periódico com o período 1 / T. (nota: o espectro é periódico como resultado da amostragem no tempo, o sinal de tempo não ' tem que ser periódico) Como o espectro é contínuo, você também pode representá-lo com apenas um de seus períodos. Esta é a DTFT (Transformada de Fourier "com tempo discreto"). No caso em que o sinal de tempo contínuo original possui frequências não superiores a + -1 / 2T, as cópias deslocadas do espectro não se sobrepõem e, portanto, você pode recuperar o sinal de tempo contínuo original selecionando um período do espectro ( teorema da amostragem de Nyquist).

Outra maneira de lembrar: sinal pontual do tempo => periodicidade no espectro

O que acontece se você amostrar um sinal periódico de tempo contínuo com o período de amostragem T / k para alguns k? Bem, o espectro do sinal de tempo contínuo era espetacular, e a amostragem por algum divisor de T significa que os picos nas cópias deslocadas caem exatamente em múltiplos de 1 / T, então o espectro resultante é um espectro periódico espetado . sinal de tempo periódico espetado <=> espectro periódico espetado (assumindo que o período e a frequência de amostragem estejam "bem relacionados" como acima.) Isso é o que é conhecido como DFT (Discrete Fourier Transform). A FFT (Fast Fourier Transform) é uma classe de algoritmos para calcular a DFT com eficiência.

A maneira como a DFT é chamada é a seguinte: Digamos que você queira analisar uma sequência de N amostras no tempo. Você pode usar a DTFT e lidar com um de seus períodos, mas se você assumir que seu sinal é periódico com o período N, a DTFT se reduz a DFT e você tem apenas N amostras de um período de DTFT que caracterizam completamente o sinal. Você pode zerar o sinal a tempo de obter uma amostra mais fina do espectro e (muitas outras propriedades).

Todos os itens acima são úteis apenas se acompanhados de um estudo do DSP. O exposto acima são apenas algumas orientações muito aproximadas.

Seja denotar uma função delimitada com o período , ou seja, para todos os números reais , . Como um exemplo específico, é uma função. Queremos encontrar a "melhor" aproximação para esta função, onde desejamos escolher o coeficiente para que o erro ao quadrado é o menor possível. Expandindo o integrando, temos T t x ( t + T ) = x ( t ) cos ( 2 π t / T ) a n cos ( 2 π n t / T ) a n ∫ T 0 ( x ( t ) - a n cos ( 2 π n t / T ) ) $x(t)$$T$$t$$x(t+T) = x(t)$$\cos(2\pi t/T)$$a_n\cos(2\pi nt/T)$$a_n$

$$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$$ $$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ A integral mais à esquerda é a energia fornecida por um período de enquanto a integral mais à direita tem valor e, portanto, vemos que Agora. para , a função quadrática tem um mínimo em (a meio caminho entre as raízes ! !) e, portanto, como expressamos o erro ao quadrado como uma função quadrática de , a escolha de que minimiza o erro ao quadrado é $E$$x(t)$$T/2$ $$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$$ $a > 0$$az^2 + bz + c$$z = -b/2a$$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$$a_n$$a_n$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ Da mesma forma, escolher como minimiza o erro quadrado entre e . Assim, vemos que a série de Fourier nada mais é do que um truque barato para encontrar a aproximação do erro quadrado mínimo para uma função periódica em termos dos sinais seno e cosseno do mesmo período e harmônicos.$b_n$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$$ $x(t)$$b_n\sin(2\pi nt/T)$$x(t)$

O endólito está correto, se você realmente começa com a série de Fourier e vê como ela é estendida à transformação de Fourier, as coisas começam a fazer muito sentido. Dou uma breve explicação para isso na primeira metade desta resposta .

Uma boa (talvez não simples) maneira de olhar para a família de transformadas de Fourier (com a que quero dizer as quatro que você listou acima) é através dos óculos de dualidade Pontryagin . Ele fornece uma boa maneira de lembrar as diferentes transformações pelos domínios originais e transformados.

Para uma função com valor complexo em (assumindo que outras condições necessárias existam), sua transformação de Fourier também é uma função com valor complexo em . O espaço é um Pontryagin auto-dual e você pode dizer que, se uma transformação em toda a família tiver como domínio original e transformado, será a transformação de Fourier (ou CFT, como você chamou).$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

Uma sequência complexa com valor de números pode ser vista como uma função periódica com valor complexo em , que é um grupo de módulo inteiro cíclico (consulte grupos abelianos finitos para obter mais informações). A transformação para esta sequência também possui o domínio (auto-dual) e essa é a transformação discreta de Fourier.$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

O domínio do círculo unitário, (todos os números complexos com valor absoluto 1; também veja o grupo de círculos ) e o conjunto de números inteiros são duplos de Pontryagin. Semelhante às duas primeiras, existe uma transformação entre para e é o que chamamos de transformada de Fourier em tempo discreto e o contrário é a série de Fourier , a partir da qual tudo começou.Z Z $\mathbb{T}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{T}$

Essa resposta não está totalmente completa e talvez eu me baseie nessa resposta para esclarecer alguns pontos quando tiver tempo, mas até então, isso pode ser algo para ser discutido até que você obtenha uma explicação mais intuitiva de outra pessoa. Tente também ler variantes da análise de Fourier na Wikipedia.

Penso que a principal coisa é entender fundamentalmente por que precisamos de transformações de quatro camadas. Eles são uma das muitas transformações de sinal possíveis, mas também uma das mais úteis. Uma transformação basicamente transforma um sinal em outro domínio, o que pode nos dar informações sobre o sinal nesse domínio, ou pode ser que o domínio seja matematicamente fácil de trabalhar. Quando terminarmos de trabalhar nesse domínio, podemos realizar uma transformação inversa para obter o resultado desejado com mais facilidade.

O bloco de construção mais básico da teoria de Fourier são os monótonos (senos e cossenos). Podemos decompor um sinal em seus componentes de frequência (monótonos) usando a matemática de Fourier. Assim, a transformada de Fourier transforma basicamente um sinal do domínio do tempo no domínio da frequência. O coeficiente de cada um dos monótonos da série fourier nos fala sobre a força desse componente de frequência no sinal. As transformadas de Fourier (CFT, DFT) explicitamente nos dão uma visão do sinal no domínio da frequência. Na natureza, senos e cossenos são as formas de onda proeminentes. Sinais sintéticos como onda quadrada ou sinais com flutuações acentuadas são menos prováveis ​​de ocorrer naturalmente e não surpreendentemente compõem uma faixa infinita de frequências, como é explicado com muita clareza pelas transformadas de Fourier. As pessoas duvidavam que algum sinal pudesse ser gravado como soma de senos / cossenos. Fourier mostrou uma forma de onda quadrada (que está longe de senos / cossenos) pode realmente ser. O ruído branco contém todas as frequências com força igual.

Além disso, se você estiver trabalhando com séries de Fourier, os coeficientes, juntamente com o termo da fase, poderão ser vistos como o necessário para sobrepor adequadamente as formas de onda sinosoidais constituintes, de modo que a superposição seja realmente o sinal necessário do qual você está realizando a transformação. Ao trabalhar com transformadas de Fourier, os números complexos implicitamente têm os termos de fase e a magnitude necessária de cada um dos monótonos. (integração é mais ou menos como soma. contínua => integração, discreta => soma)

Acho que depois de entender o tema de um conceito, descanse todos são apenas detalhes que você terá que entender lendo livros. Ler sobre a aplicação de transformadas de Fourier em vários campos fornecerá uma melhor percepção.

Uma DFT é uma transformação de um vetor de pares de números de um espaço ortogonal para outro. Muito comumente feito como uma computação numérica. Por alguma razão, ao receber um monte de números do mundo real, o segundo lote geralmente fica próximo o suficiente de algo bastante útil.

Lembro-me da eficácia irracional da matemática nas ciências naturais , especialmente no que diz respeito à aplicação da DFT em muitos sistemas, que parece ser aproximada por vários tipos de equações diferenciais de segundo grau, até mesmo o som da colher de café que acabei de deixar cair.

Os outros 3 XYZ-FTs fazem suposições sobre a existência de algumas entidades infinitas míticas para ajudar soluções simbólicas a se encaixarem no quadro branco antes que o café esfrie demais. Eles são as "vacas esféricas" do processamento de sinais. As séries DTFT e Fourier fingem que um vetor pode ser estendido infinitamente ao custo da densidade infinita da outra entidade. A Série Fourier finge que ambas as entidades podem ser infinitas funções contínuas.

Faça cursos de matemática suficientes e pode-se até determinar todas as definições e suposições necessárias para tornar essas entidades fictícias exatas e completas, em algum sentido.