Por que a transformação de Fourier é tão importante?

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Todos discutem a transformação de Fourier ao discutir o processamento de sinais. Por que é tão importante processar o sinal e o que isso nos diz sobre o sinal?

Aplica-se apenas ao processamento de sinal digital ou também a sinais analógicos?

fourier-transform

— jcolebrand
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Recentemente, uma discussão sobre as transformações de Fourier foi revivida em math.SE, e eu pensei que as pessoas neste site talvez achassem parte disso e que talvez quisessem participar.

— Dilip Sarwate

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cf. esta resposta para alguns excelentes antecedentes históricos. As séries de Fourier datam pelo menos desde a astronomia epiciclica de Ptolomeu . Adicionando mais excêntricos e epiciclos, semelhante à adição de mais termos a uma série de Fourier, é possível explicar qualquer movimento contínuo de um objeto no céu.

— Geremia 11/01

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Essa é uma pergunta bastante ampla e, de fato, é bastante difícil identificar por que exatamente as transformadas de Fourier são importantes no processamento de sinais. A resposta mais simples que você pode oferecer é que é uma ferramenta matemática extremamente poderosa que permite visualizar seus sinais em um domínio diferente, dentro do qual vários problemas difíceis se tornam muito simples de analisar.

Sua onipresença em quase todos os campos das ciências físicas e da engenharia, tudo por diferentes razões, torna ainda mais difícil restringir uma razão. Espero que examinar algumas de suas propriedades que levaram à sua ampla adoção, juntamente com alguns exemplos práticos e uma pitada de história possa ajudar a entender sua importância.

História:

Para entender a importância da transformação de Fourier, é importante recuar um pouco e apreciar o poder da série de Fourier apresentada por Joseph Fourier. Em uma casca de noz, qualquer função periódica integrável no domínio pode ser escrita como uma soma infinita de senos e cossenos como $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

onde . Essa ideia de que uma função poderia ser decomposta em suas frequências constituintes (isto é, em senos e cossenos de todas as frequências) era poderosa e forma a espinha dorsal da transformação de Fourier. $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

A transformação de Fourier:

A transformação de Fourier pode ser vista como uma extensão da série de Fourier acima para funções não periódicas. Para completar e para maior clareza, definirei aqui a transformação de Fourier. Se é um sinal contínuo e integrável, sua transformação de Fourier, é dada por $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

e a transformação inversa é dada por

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

Importância no processamento do sinal:

Em primeiro lugar, uma transformada de Fourier de um sinal informa quais frequências estão presentes no seu sinal e em que proporções .

Exemplo: você já reparou que cada um dos botões numéricos do seu telefone soa diferente quando você pressiona durante uma ligação e soa o mesmo para todos os modelos de telefone? Isso porque cada um deles é composto por dois sinusóides diferentes que podem ser usados para identificar exclusivamente o botão. Quando você usa o telefone para digitar combinações para navegar em um menu, a maneira como a outra parte sabe quais teclas você pressionou é fazendo uma transformação de Fourier da entrada e observando as frequências presentes.

Além de algumas propriedades elementares muito úteis que simplificam a matemática envolvida, algumas das outras razões pelas quais ela tem uma importância tão ampla no processamento de sinais são:

$\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
$\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
$x(t)$ $y(t)$

$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
Para sinais discretos, com o desenvolvimento de algoritmos eficientes de FFT, quase sempre, é mais rápido implementar uma operação de convolução no domínio da frequência do que no domínio do tempo.
$Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
Ao ser capaz de dividir sinais em suas frequências constituintes, é possível bloquear facilmente determinadas frequências seletivamente, anulando suas contribuições.

Exemplo: se você é fã de futebol, pode ter ficado irritado com o zumbido constante das vuvuzelas que praticamente afogou todos os comentários durante a copa do mundo de 2010 na África do Sul. No entanto, a vuvuzela tem um tom constante de ~ 235Hz, o que facilitou às emissoras a implementação de um filtro de entalhe para cortar o ruído ofensivo. ^[1]
Um sinal deslocado (atrasado) no domínio do tempo se manifesta como uma mudança de fase no domínio da frequência. Embora isso se enquadre na categoria de propriedade elementar, essa é uma propriedade amplamente utilizada na prática, especialmente em aplicações de imagem e tomografia,

Exemplo: quando uma onda viaja através de um meio heterogêneo, ela diminui e acelera de acordo com as mudanças na velocidade de propagação da onda no meio. Portanto, observando uma mudança na fase do que é esperado e do que é medido, pode-se inferir o atraso de excesso de tempo, que, por sua vez, indica quanto a velocidade da onda mudou no meio. Esta é, obviamente, uma explicação leiga muito simplificada, mas forma a base da tomografia.
Derivadas de sinais ( ^enésimas derivadas também) podem ser facilmente calculadas (ver 106) usando transformadas de Fourier.

Processamento de sinal digital (DSP) vs. Processamento de sinal analógico (ASP)

A teoria das transformadas de Fourier é aplicável independentemente de o sinal ser contínuo ou discreto, desde que seja "agradável" e absolutamente integrável. Então, sim, o ASP usa transformadas de Fourier, desde que os sinais satisfaçam esse critério. No entanto, talvez seja mais comum falar sobre transformadas de Laplace, que é uma transformada de Fourier generalizada, no ASP. A conversão de Laplace é definida como

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

A vantagem é que a pessoa não está necessariamente confinada a "sinais agradáveis" como na transformação de Fourier, mas a transformação é válida apenas dentro de uma determinada região de convergência. É amplamente utilizado no estudo / análise / projeto de circuitos LC / RC / LCR, que por sua vez são usados em rádios / guitarras elétricas, pedais wah-wah, etc.

Isso é tudo o que eu conseguia pensar agora, mas note que nenhuma quantidade de escrita / explicação pode capturar completamente a verdadeira importância das transformadas de Fourier no processamento de sinais e na ciência / engenharia

— Lorem Ipsum
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Boa resposta ao fornecer alguns aplicativos do mundo real usando o FT e suas propriedades. +1.

— goldenmean

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\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

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Quando comecei a ler esta resposta, de alguma forma eu sabia @yoda escreveu antes de eu rolada para baixo para ver quem ele realmente era =)

— Phonon

2

Para elaborar o item 3: Convolução é o que você faz quando aplica um filtro a uma imagem, como um filtro médio ou um filtro gaussiano (embora você não possa transformar filtros não lineares de transformação de Fourier).

— Jonas

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O ponto de Peter K é realmente crítico. Os sinais podem ser representados com relação a muitas bases diferentes. Os senos e os cossenos são especiais porque são as funções próprias dos sistemas de LTI.

— Nibot 24/03/12

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A grande resposta de Lorem Ipsum perde uma coisa: a transformada de Fourier decompõe sinais em exponenciais complexas constituintes:

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

e exponenciais complexas são as funções próprias para sistemas lineares invariantes no tempo .

$H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = A e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

Portanto, a transformação de Fourier é uma ferramenta útil para analisar sistemas lineares, invariantes no tempo.

— Peter K.
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@ Peter K. Penso que, seguindo a filosofia de escolha sobre a correção (acadêmica) sobre a "popularidade" de uma resposta, sua resposta deve ser integrada à resposta acima fornecida por Lorem Ipsum, que apesar de ter sido selecionada como a resposta com 96 pontos pelos usuários, carece desse ponto de vista muito importante.

— precisa

@ Peter Desculpe incomodá-lo com esta solicitação, mas você é 1) um moderador, 2) seu nome apareceu na lista de usuários "ativos" com sua tag de formação de feixe. Você pode dar uma opinião rápida se este post no Math.SE seria bem recebido aqui? Não tenho certeza se DSP.SE, Math.SE ou EE.SE tem a melhor chance de ajudar esse solicitante. Estou pensando em migrar (o que posso fazer como moderador do Math.SE).

— Jyrki Lahtonen

@ Peter K., Você poderia reabrir a pergunta em: dsp.stackexchange.com/questions/37468 . Eu consertei isso. Obrigado.

— Royi 11/02/19

@Royi já está aberto?

— Peter K.

Peter (Por que algumas pessoas podem ser abordadas usando @e outras não? Onde é a opção para isso?), Parece que alguém abriu. Obrigado.

— Royi

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Outra razão:

É rápido (por exemplo, útil para convolução), devido à sua complexidade de tempo linearitmica (especificamente, a da FFT ).
Eu diria que, se não fosse esse o caso, provavelmente estaríamos fazendo muito mais no domínio do tempo e muito menos no domínio de Fourier.

Edit: Como as pessoas me pediram para escrever por que a FFT é rápida ...

É porque evita inteligentemente o trabalho extra.

$a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

$n^2$

No entanto, podemos fazer uma observação aparentemente mundana: para multiplicar dois polinômios, não precisamos prejudicar os coeficientes . Em vez disso, podemos simplesmente avaliar os polinômios em um número (suficiente) de pontos, fazer uma multiplicação pontual dos valores avaliados e, em seguida, interpolar para recuperar o resultado.

$n$ $2n$ $\approx n^2$

Mas, se o fizermos corretamente! Avaliar um único polinômio em muitos pontos ao mesmo tempo é mais rápido do que avaliar nesses pontos individualmente, se avaliarmos nos pontos "certos" . Quais são os pontos "certos"?

$z$ $z^n = 1$

Podemos fazer um processo muito semelhante para interpolar os pontos para recuperar os coeficientes polinomiais do resultado, apenas usando as raízes inversas da unidade.

$n \log n$ $n^2$

Portanto, a capacidade de usar a FFT para executar uma operação típica (como multiplicação polinomial) muito mais rápido é o que a torna útil, e é também por isso que as pessoas agora estão empolgadas com a nova descoberta do MIT do algoritmo Sparse FFT .

— Mehrdad
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O que é complexidade de tempo linearitmico? Não vou rebaixar esta resposta, mas acho que ela não agrega nada de valor a essa discussão sobre as transformações de Fourier .

— Dilip Sarwate

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@DilipSarwate Eu suspeito que ele esteja usando isso como abreviação de O (n * log (n)).

— Jim Clay

@DilipSarwate: Jim está certo. Tem tudo a ver com transformações (discretas) de Fourier. Sem a FFT, suas transformadas de Fourier levariam um tempo proporcional ao quadrado do tamanho da entrada, o que as tornaria muito menos úteis. Mas com a FFT, eles levam um tempo proporcional ao tamanho da entrada (vezes seu logaritmo), o que os torna muito mais úteis e que acelera muitos cálculos. Também esta pode ser uma leitura interessante.

— Mehrdad

Você deve mencionar por que é rápido. Onde é rápido e por que nos importamos que seja rápido?

— CyberMen

1

Eu acho que essa resposta é legítima. Deve ser parafraseado - "Além de todas as boas características explicadas na resposta de outras pessoas, a FFT permite que ela se torne uma abordagem viável em aplicações em tempo real".

— Andrey Rubshtein

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$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

EDIT: Por uma questão de fato, operadores diferenciais (e integrais) são operadores LSIV, veja aqui .

— chaohuang
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Algumas das outras respostas neste tópico têm excelentes discussões matemáticas da definição e propriedades da transformada de Fourier; como programador de áudio, quero apenas fornecer minha própria intuição pessoal sobre o motivo de ser importante para mim.

A transformação de Fourier me permite responder perguntas sobre um som que é difícil ou impossível de responder com outros métodos. Isso facilita problemas difíceis.

Uma gravação contém um conjunto de três notas musicais. Quais são as notas? Se você deixar a gravação como um conjunto de amplitudes ao longo do tempo, este não é um problema fácil. Se você converter a gravação para um conjunto de frequências ao longo do tempo, é realmente fácil.

Quero alterar o tom de uma gravação sem alterar sua duração. Como eu faço isso? É possível, mas não fácil, apenas manipulando a amplitude de um sinal de entrada. Mas é fácil se você souber as frequências que compõem o sinal.

Esta gravação contém fala ou música? Super difícil de usar, usando apenas métodos baseados em amplitude. Mas existem boas soluções que adivinham a resposta certa quase o tempo todo, com base na transformação de Fourier e sua família.

Quase todas as perguntas que você gostaria de fazer sobre uma gravação de áudio digital são facilitadas, transformando a gravação usando uma versão discreta da transformação de Fourier.

Na prática, todo dispositivo de áudio digital moderno depende muito de funções muito semelhantes à transformação de Fourier.

Mais uma vez, perdoe a descrição altamente informal; essa é apenas minha intuição pessoal de por que a transformação de Fourier é importante.

— johnwbyrd
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Hey John, eu tenho uma pergunta boba. Quero calcular o TWA ( osha.gov/pls/oshaweb/… ) a partir do som que gravamos em um local de trabalho. Gostaria de saber se poderia medir esse valor mais precisamente se empregar a transformação de Fourier na análise do meu arquivo de áudio.

— Hossein Sarshar

A menos que o microfone e o ambiente de gravação tenham sido calibrados, não.

— precisa saber é o seguinte

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As outras pessoas deram ótimas respostas úteis. Apenas pense em algum sinal: você se importa apenas com as frequências (e sua fase), não no domínio do tempo. Não sei se essa é uma resposta final ou completa, mas apenas outra razão pela qual a transformação de Fourier é útil.

Quando você tem algum sinal, ele pode ser composto por um número infinito (ou próximo a) de frequências, dependendo da sua taxa de amostragem. Mas não é esse o caso: sabemos que a maioria dos sinais tem o menor número de frequências possível ou que estamos amostrando a uma taxa suficientemente alta.

Se sabemos disso, por que não podemos usá-lo? É isso que o campo da detecção compactada faz. Eles sabem que o sinal mais provável é o que tem menos erro e tem menos frequências. Portanto, eles minimizam o erro geral relativo às nossas medições, bem como a magnitude da transformação de Fourier.

Um sinal de poucas frequências geralmente tem uma transformação de Fourier mínima, ou principalmente zeros (também conhecido como "esparso", como se costuma dizer no sensor comprimido). Um sinal de uma frequência apenas possui uma função delta como a transformação, por exemplo.

Também podemos usar a definição matemática formal.

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$
$y$
$A$
$x$
$\lambda$
$F(x)$

Você deve se lembrar que Nyquist disse que é necessário medir duas vezes a frequência mais alta para obter uma boa representação. Bem, isso supunha que você tivesse frequências infinitas no seu sinal. Nós podemos superar isso!

O campo de detecção compactada pode reconstruir qualquer sinal que seja principalmente zeros (ou esparsos) em algum domínio. Bem, esse é o caso da transformação de Fourier.

— Scott
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A principal importância da transformação de Fourier reside na análise do sistema. O principal constituinte de nosso universo é o vácuo, e o vácuo é um portador de campos fundamentalmente linear e invariante no tempo: campos diferentes se sobrepõem adicionando seus respectivos vetores e, independentemente de quando você repete a aplicação de certos campos, o resultado será o mesmo .

Como conseqüência, muitos sistemas que também envolvem matéria física são, para uma boa aproximação, se comportando como sistemas lineares, invariantes no tempo.

Tais sistemas de LTI podem ser descritos por sua "resposta ao impulso", e a resposta a qualquer sinal distribuído no tempo é descrita pela convolução do sinal com a resposta ao impulso.

A convolução é uma operação comutativa e associativa, mas também é bastante computacional e conceitualmente cara. No entanto, a convolução das funções é mapeada pela transformação de Fourier em multiplicação por partes.

Isso significa que as propriedades dos sistemas invariantes no tempo linear e suas combinações são muito melhor descritas e manipuladas após a transformação de Fourier.

Como resultado, coisas como "resposta em frequência" são bastante características para descrever o comportamento de muitos sistemas e se tornam úteis para caracterizá-los.

As transformações rápidas de Fourier estão na classe "quase, mas não completamente, completamente diferente das transformadas de Fourier", pois seus resultados não são realmente sensivelmente interpretáveis, pois as transformadas de Fourier, embora firmemente roteadas em sua teoria. Eles correspondem às transformadas de Fourier completamente apenas quando se fala de um sinal amostrado com a periodicidade do intervalo de transformação. Em particular, o critério da "periodicidade" quase sempre não é atendido.

Existem várias técnicas para contornar isso, como o uso de funções de janelas sobrepostas.

No entanto, a FFT pode ser empregada para fazer convolução em tempo discreto ao fazer as coisas corretamente, e é um algoritmo eficiente, que a torna útil para muitas coisas.

Pode-se empregar o algoritmo básico da FFT também para transformações teóricas dos números (que funcionam em campos numéricos discretos, em vez de "reais" complexos), a fim de obter uma rápida convolução, como ao multiplicar números ou polinômios enormes. Nesse caso, o "domínio da frequência" é indistinguível do ruído branco para basicamente qualquer entrada e não tem interpretação útil antes de você fazer a transformação inversa novamente.

— David
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a relevância física da transformada de fourier é que ela diz a amplitude relativa das frequências presentes no sinal. pode ser definido para sinal de tempo discreto e de tempo contínuo. Qualquer sinal pode ser representado como uma mistura de muitas frequências harmônicas. A ajuda da transformação de Fourier em aplicações de filtro, onde precisamos apenas de certas faixas de frequências, precisamos primeiro saber quais são as amplitudes de frequências contidas no sinal.

— vatsyayan
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