Problema com a definição de Linearidade

Pela matemática do ensino médio, sabemos que y = mx + c é uma equação linear. No entanto, no DSP, o sistema linear deve satisfazer as propriedades de Aditividade que y = mx + c não mantém por causa de + c. Então, a definição de Linearidade é diferente no DSP e no Maths? Se sim, por quê? Obrigado.

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— Zahid Hasan
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Sim, em certo sentido, as definições são diferentes. Darei a você dois pontos de vista, o primeiro apoiará sua observação, o outro fornecerá evidências em contrário. Esses dois não entram em conflito, é uma questão de semântica. Se o segundo confundir, você ficará com o primeiro. Prelúdio concluído, aqui vai.

Definição de Problema 1 : $y = mx + c$ significa $f(x)=mx+c$

Aqui tomamos o ponto de vista usual em que $y$ é assumido como a saída de algumas manipulações no $x$ . Chamamos isso de algo de função e podemos escrever a mesma expressão com um pouco mais de elegância matemática: $f(x)=mx+c$ . Agora está claro que $f(x)$ está em algum sentido na saída de alguma manipulação matemática para a qual $x$ é a entrada .

Vamos atualizar os critérios de linearidade. Uma função $g(x)$ é linear se satisfaz as duas condições a seguir:

$g(a+b) = g(a)+g(b)$ para todos $a$ e $b$
$g(cx) = cg(x)$ para todas as constantes $c$

Claramente, nossa função favorita $f(x)$ não atende a nenhuma dessas propriedades. Então sim, desta perspectiva $f(x)$ não é uma função linear. A coisa mais próxima de "linear" que podemos chamar é " afim ".

QED

Agora você pode se preparar para a parte 2 da resposta.

Definição de Problema 2 : $y = mx + c$ significa $L(x,y)=y-mx$

Vamos dar um passo de cada vez. Suponha que você esteja tentando resolver um sistema de duas equações lineares. Como você faz isso? Uma maneira é escrever as equações da seguinte maneira:

\begin{aligned} y & = m_{1} x + c_{1} \\ y & = m_{2} x + c_{2} \end{aligned}

$\begin{align} y &= m_1x + c_1\\y &= m_2x + c_2 \end{align}$

Certamente, é assim que todos fazemos isso desde a sétima série. Agora tudo o que você precisa fazer é resolvê-lo por substituição ou da maneira que preferir. Mas o que você faz quando possui um sistema de equações com mais de duas variáveis? Você escreverá assim?

\begin{aligned} y & = a_{1} x + c_{1} z + d_{1} \\ y & = a_{2} x + c_{2} z + d_{2} \\ y & = a_{3} x + c_{3} z + d_{3} \end{aligned}

$\begin{align} y &= a_1x + c_1z + d_1\\y &= a_2x + c_2z + d_2\\y &= a_3x + c_3z + d_3 \end{align}$

Isso realmente não parece certo. E por uma boa razão. Existem muitas maneiras de interpretar funções de qualquer número de variáveis, e não é apenas a semântica que é diferente. Para discordar por um momento, pegue a equação $x^2+y^2=r^2$ . Quase todo mundo (visitando este fórum) o identificará imediatamente como uma equação de círculo. Mas lembre-se da definição de uma função !

Se interpretarmos como $f(x) = \pm \sqrt{r^2-x^2}$ temos duas soluções: a metade superior de um círculo e a metade inferior de um círculo. O círculo inteiro não pode ser uma solução porque viola a propriedade que nas funções, para cada entrada há no máximo uma saída única.

Se, por outro lado, interpretarmos como $f(x,y)=r^2$ , recuperamos o círculo inteiro como uma solução, porque o vemos como uma função de duas variáveis iguais a uma constante. Em outras palavras, mesmo que tenhamos escrito a mesma expressão $x^2+y^2=r^2$ , devemos definir do que estamos falando. Caso contrário, esse problema não está bem definido. Em uma interpretação, é uma função $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , em outra interpretação, é uma função $f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ . Lembra-se de tudo que murmura sobre domínios e faixas no ensino médio? Sim, é exatamente isso que é. Agora, voltando ao nosso tópico misterioso de funções lineares.

Felizmente, a essa altura você já está com seu aha! momento. Caso contrário, aqui está o nosso acabamento direto. Lembre-se do sistema de três equações que não parecia certo? Antes de tudo, observe que parece afim, porque além das variáveis $x$ e $z$ existem constantes $d$ também. Agora, uma maneira melhor de escrever esse sistema de equações é assim:

\begin{aligned} - {uma}_{1 1} x + y + - c_{1 1} z & = d_{1 1} \\ - {uma}_{2} x + y + - c_{2} z & = d_{2} \\ - {uma}_{3} x + y + - c_{3} z & = d_{3} \end{aligned}

$\begin{align} -a_1x + y + -c_1z &= d_1 \\ -a_2x + y + -c_2z &= d_2 \\ -a_3x + y + -c_3z &= d_3\end{align}$

Agora estamos chegando a algum lugar. Como você pode ver, podemos escrevê-lo na forma de matriz da seguinte maneira:

[\begin{matrix} - {uma}_{1 1} & 1 1 & - c_{1 1} \\ - {uma}_{2} & 1 1 & - c_{2} \\ - {uma}_{3} & 1 1 & - c_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} d_{1 1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} -a_1 &1 &-c_1 \\-a_2 &1 &-c_2 \\-a_3 &1 &-c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$

Claramente, este é um sistema linear de equações. Onde está o problema? Bem, no começo parecia um sistema de três funções da forma $f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ , e agora a estamos representando como uma única função do formulário $f:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$ .

Para esclarecer, esta é uma função única que recebe um vetor em $\mathbb{R}^3$ e retorna outro vetor em $\mathbb{R}^3$ . Vamos chamar essa função $L(x,y,z)$ precariamente $L:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$ . Vou deixar você verificar se essa função é linear . Concretamente, se $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$ e $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ \delta_3 \end{bmatrix}$ , então

$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x+\alpha \\ y+\beta \\ z+\gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 + \delta_1 \\ d_2 + \delta_2 \\ d_3 + \delta_3 \end{bmatrix}$ e
$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} kx \\ ky \\ kz \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kd_1 \\ kd_2 \\ kd_3 \end{bmatrix}$

Em outras palavras (e sim, essa é a verdadeira razão pela qual os matemáticos continuam constantemente apresentando uma nova notação concisa!), Vamos $\vec{u},\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ ( $\vec{u}$ e $\vec{v}$ e vetores tridimensionais de números reais). Então

$L(\vec{u}+\vec{v}) = L(\vec{u})+L(\vec{v})$
$L(k\vec{u}) = kL(\vec{u})$

Linear! QED

Concluindo, exploramos sutilezas misteriosas da matemática das funções e, em particular, a importância de definir bem os problemas. A função $f(x) = mx + c$ é obviamente não linear (ou mais precisamente afim), e a função $g(x,y) = y - mx$ é linear.

Volte para coisas mais interessantes. Gostamos de dar respostas distorcidas a perguntas simples.

— Phonon
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Um motivo mais simples para ligar

y = m x + c

$y=mx+c$ uma função linear é que seu gráfico é uma linha reta, não necessariamente através da origem e, pelo menos na geometria analítica elementar que a maioria dos leitores encontrou no ensino médio e ouviu pela primeira vez o nome, é muito complicado ter nomes diferentes para linhas retas que passam pela origem e aquelas que não.

— precisa saber é o seguinte

A Wikipedia diz isso como polinômios lineares ... Gostaria de saber por que os livros DSP não incluem essas informações!

— Zahid Hasan

@Phonon - Excelente apresentação. Esta é a segunda resposta de troca de pilhas que gostaria de manter em meus arquivos para referência futura.

— User2718

@BruceZenone Mais sobre math.SE, eles mantêm uma lista de generalizações de perguntas comuns em seu meta site, que possui uma coleção de melhores respostas que são salvas para referência futura. Talvez algo semelhante possa ser adicionado ao dsp.SE (dica, dica, moderador Phonon!) E ajudaria a responder perguntas como O que constitui uma pergunta de FAQ no meta site dsp.

— precisa