Determinando o tipo e a largura de banda de um filtro

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Dado um filtro, se for fornecido como uma equação, como:

f (x, y) = (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}) \exp (- \frac{x^{2} + y^{2}}{σ^{2}})

$f(x,y) = \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{\sigma^2}\right)$

Ou em um kernel como:

[\begin{array}{rrr} 0 0 & 1 1 & 0 0 \\ 1 1 & - 4 & 1 1 \\ 0 0 & 1 1 & 0 0 \end{array}]

$\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$ Quanto posso descobrir sobre o filtro. Especificamente, posso descobrir se é um filtro passa-alto / passa-baixo / passa-banda (se sim, como?) E posso descobrir a largura de banda do filtro?

Se ajudar, o contexto é o processamento de imagens.

obrigado

— Pedro
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Para filtrar uma imagem usando um kernel, use convolução, para que o kernel seja uma espécie de função de resposta a impulso. Para ver a resposta em frequência de um filtro, você executa uma FFT da resposta ao impulso. Nesse caso, seu kernel é de apenas 3x3, então eu acho que você deveria zerá-lo primeiro para ver um espectro de resposta de maior resolução. Então você pode olhar / medir o espectro para ver o tipo e largura de banda etc.

— endolith

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Como outros já mencionaram, executar uma FFT 2D no kernel fornecerá a resposta de frequência do filtro. No entanto, vale ressaltar que os filtros 2D podem ser analisados usando a transformação Z , que pode ou não fornecer informações mais detalhadas, dependendo do filtro (e do que você deseja saber).

Por exemplo, dado o kernel que você especificou, a equação de diferença correspondente seria

y (n_{1 1}, n_{2}) = x (n_{1 1} + 1 1, n_{2}) + x (n_{1 1}, n_{2} + 1 1) + x (n_{1 1} - 1 1, n_{2}) + x (n_{1 1}, n_{2} - 1 1) - 4 x (n_{1 1}, n_{2}) .

$y(n_1,n_2) = x(n_1+1,n_2) + x(n_1,n_2 + 1) + x(n_1-1,n_2) + x(n_1,n_2-1) - 4x(n_1,n_2).$

Sua transformação Z é

Y (z_{1 1}, z_{2}) = z_{1 1} X (z_{1 1}, z_{2}) + z_{2} X (z_{1 1}, z_{2}) + z_{1 1}^{- 1 1} X (z_{1 1}, z_{2}) + z_{2}^{- 1 1} X (z_{1 1}, z_{2}) - 4 X (z_{1 1}, z_{2}),

$Y(z_1,z_2) = z_1X(z_1,z_2) + z_2X(z_1,z_2) + z^{-1}_1X(z_1,z_2) + z_2^{-1}X(z_1,z_2) - 4X(z_1,z_2),$

que, após a reorganização, produz a seguinte função de transferência para o filtro:

H (z_{1 1}, z_{2}) = \frac{Y (z_{1 1}, z_{2})}{X (z_{1 1}, z_{2})} = z_{1 1} + z_{2} + z_{1 1}^{- 1 1} + z_{2}^{- 1 1} - 4)

$H(z_1,z_2) = \frac{Y(z_1,z_2)}{X(z_1,z_2)} = z_1 + z_2 + z_1^{-1} + z_2^{-1} - 4.$

Para determinar a resposta de magnitude, basta conectar um par de exponenciais complexas e simplificar da seguinte maneira:

\begin{aligned} H (e^{Eu W_{1 1}}, e^{Eu W_{2}}) & = e^{Eu W_{1 1}} + e^{Eu W_{2}} + e^{- Eu W_{1 1}} + e^{- Eu W_{2}} - 4 \\ = (e^{Eu W_{1 1}} + e^{- Eu W_{1 1}}) + (e^{Eu W_{2}} + e^{- Eu W_{2}}) - 4 \\ = 2 porque W_{1 1} + 2 porque W_{2} - 4 \\ | H (e^{Eu W_{1 1}}, e^{Eu W_{2}}) | & = 2 \sqrt{(porque W_{1 1} + porque W_{2} - 2)^{2}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} H(e^{iw_1},e^{iw_2}) & = e^{iw_1} + e^{iw_2} + e^{-iw_1} + e^{-iw_2} - 4 \\ & = (e^{iw_1} + e^{-iw_1}) + (e^{iw_2} + e^{-iw_2}) - 4 \\ & = 2\cos{w_1} + 2\cos{w_2} - 4 \\ |H(e^{iw_1},e^{iw_2})| & = 2\sqrt{ (\cos{w_1} + \cos{w_2} - 2)^2 } . \end{aligned}$

Avaliar a resposta de magnitude em frequências extremas fornecerá uma sensação de passa-alto vs. passa-baixo para o filtro. Por exemplo,

| H (e^{Eu 0 0}, e^{Eu 0 0}) | = 2 \sqrt{(porque 0 0 + porque 0 0 - 2)^{2}} = 2 \sqrt{(1 1 + 1 1 - 2)^{2}} = 0 0,

$|H(e^{i0},e^{i0})| = 2\sqrt{(\cos{0} + \cos{0} - 2)^2} = 2\sqrt{(1+1-2)^2} = 0,$ e

| H (e^{Eu π}, e^{Eu π}) | = 2 \sqrt{(porque π + porque π - 2)^{2}} = 2 \sqrt{(- 1 1 - 1 1 - 2)^{2}} = 8)

$|H(e^{i\pi},e^{i\pi})| = 2\sqrt{(\cos{\pi} + \cos{\pi} - 2)^2} = 2\sqrt{(-1-1-2)^2} = 8.$

Obviamente, a função de transferência pode ser avaliada diretamente para traçar também a resposta de magnitude do filtro. Aqui está um exemplo usando numpy :

import numpy as np
import pylab as py
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d

def H(z1,z2):
    return z1 + z2 + 1./z1 + 1./z2 - 4.0

n = 100
w1 = w2 = np.linspace(-np.pi,np.pi, n)    
mag = np.zeros((n,n))

for i1 in xrange(0,n):
    for i2 in xrange(0,n):
        z1 = np.exp(1j*w1[i1])
        z2 = np.exp(1j*w2[i2])
        mag[i1,i2] = np.abs(H(z1,z2))

fig = py.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')    
X, Y = np.meshgrid(w1,w2)
ax.plot_surface(X, Y, mag, cmap='bone', alpha=.5)
py.show()

Resposta de magnitude do filtro

Lembre-se de que, se você usar a técnica 2D FFT do kernel, as magnitudes resultantes não serão necessariamente centralizadas em zero, como no gráfico acima.

— datagrama
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O negativo da segunda derivada de um núcleo gaussiano, como você descreveu, acaba sendo o que é chamado de 'Chapéu Mexicano' . núcleo. Você pode ver alguns de seus usos no wiki.

Tal como está, esse filtro pode ser usado para detectar arestas. O kernel que você forneceu também pode ser usado na mesma capacidade.

A melhor maneira de saber se um filtro é passa baixa / banda / passa alto é observá-lo no domínio da frequência, pois isso informa quais bandas estão sendo suprimidas ou deixadas em paz. A realização da DFT bidimensional e a magnitude do resultado devem fornecer essas informações.

— Spacey
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2

Se você tiver a Caixa de ferramentas de processamento de imagem MATLAB, poderá usar o freqz2: http://www.mathworks.com/help/images/ref/freqz2.html

Código Scipy para uma DFT / FFT 2-d, conforme observado por @endolith e @Mohammad

h = array([[0,1,0],[1,-4,1],[0,1,0]])
N=32; 
figure(); 
imshow(abs(fft2(h,s=(N,N))),interpolation='nearest');
colorbar()

— Dave C
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