Como um filtro pode ter atraso de grupo zero?

Se você colocar um pacote de onda na banda passante de um filtro passa-baixa de 1ª ordem, será atrasado pelo atraso do grupo do filtro e permanecerá com a mesma amplitude, certo?

Se você colocar o mesmo pacote de onda em um filtro highpass de primeira ordem complementar com a mesma frequência de corte, a curva de atraso do grupo será a mesma, portanto o atraso do pacote será o mesmo, mas o ganho é muito menor, portanto atrasar e atenuar a negligência.

Como a saída do filtro passa-alto é muito pequena, se você somar as saídas desses dois filtros (como em um crossover de áudio), seria de esperar que fosse insignificante diferente da saída do filtro passa-baixo: Sinal atrasado grande + muito pequeno sinal atrasado = sinal atrasado grande.

No entanto, se você somar as respostas do filtro, a amplitude é de 0 dB em todos os lugares e a fase é 0 em todos os lugares, e, portanto, o atraso do grupo se torna 0, o que significaria que o pacote de ondas sairia sem atraso e sem alterações. Não entendo como isso pode ser possível. Os filtros nem sempre sofrem atraso? Como um filtro (que também possui atraso de grupo positivo) pode desfazer o atraso causado pelo outro canal, especialmente quando isso está acontecendo na faixa de parada?

Qual parte estou entendendo errado aqui?

Os tipos de crossover mais conhecidos com fase linear são crossovers não invertidos de primeira ordem, ... O crossover de primeira ordem é fase mínima quando suas saídas são somadas normalmente; possui uma plotagem de fase plana a 0 °. - O design de cruzamentos ativos

e

Aqui, o resultado da soma das saídas produz um desvio de fase de 0 °, ou seja, que a amplitude somada e o deslocamento de fase de um cruzamento de 1ª ordem são equivalentes a um pedaço de fio. - Linkwitz-Riley Crossovers: uma cartilha: redes de crossover de primeira ordem

O teste de pulsos reais mostra como a passagem baixa (azul) atrasa o pulso, conforme o esperado, e como a passagem alta (verde) pode ser combinada com ele para produzir o pulso original (vermelho), mas como o pulso da passagem alta ocorre antes do original se o filtro passa-alto é causal e tem atraso de grupo positivo? Intuição está falhando comigo.

Ele faz mostram que a saída highpass não é tão insignificante como eu imaginava, e o atraso é mais desprezível do que eu imaginava, e como você se move a frequência da portadora ao redor, estas duas propriedades mudam de forma proporcional (atraso menor exige saída de menor amplitude highpass para corrigi-lo). Mas ainda não entendi direito.

$\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$. No domínio do tempo, isso significa que a resposta de impulso do filtro complementar é simplesmente o negativo da resposta de impulso original com 1 adicionado à primeira amostra. Então todo o material "circular" é cancelado. Agora, a forma desse filtro complementar nem sempre é o que se esperaria. Para um passe baixo de 1ª ordem, na verdade é um passe alto de primeira ordem, mas para filtros de ordem superior, ele tende a ter oscilações acima / abaixo na região de corte. No entanto, ele sempre existe como um filtro causal estável.

$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$

Portanto, isso nos deixa com a questão de como interpretar o atraso do grupo nesses casos. O caso em cascata é realmente o mais interessante. Como os filtros são inversos um do outro, a fase e, portanto, o atraso do grupo, de um é o negativo do outro. Portanto, nas frequências em que um filtro apresenta atraso de grupo positivo, o outro tem atraso de grupo negativo. Um exemplo fácil seria uma prateleira baixa com + 6dB de ganho e uma prateleira baixa com 6dB de corte. Portanto, atrasos negativos de grupo são muito reais e certamente não são uma violação da causalidade. Na prática, elas são exibidas em áreas do filtro que são razoavelmente "não planas", de modo que a interpretação tradicional de "atraso do envelope" não se aplica completamente, pois também existe uma boa quantidade de distorção de amplitude.

Se você procurar no Google "atraso de grupo negativo", poderá encontrar alguns artigos do IEEE que abordaram o assunto.

Não há aplicação incorreta de atraso de grupo nem violação da física ou causalidade neste problema. A definição de atraso de grupo como derivada negativa da fase em relação à frequência ainda é válida, pois cada filtro por si só tem um atraso de tempo positivo que não é constante sobre a frequência. Os detalhes são revelados no que acontece quando os filtros são conectados em paralelo ou em série.

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$A_1 e^{j\phi_1}$$A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$

Considere o primeiro caso à luz da pergunta do OP. No cruzamento sobre cada filtro tem uma magnitude e uma fase dadas como:

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

E na frequência mais alta, cada filtro tem uma magnitude e uma fase, conforme:

$\rightarrow \infty$$1e^{j0}$

$\rightarrow \infty$$0e^{-j\pi}$

$-\pi$$\infty$

O que acontece no meio exige uma relação matemática especial entre os dois filtros para que a combinação paralela seja somada a uma fase zero (e, portanto, atraso de grupo zero, essencialmente tornando a combinação paralela também transparente). Considere o exemplo do OP, onde podemos ver claramente que há uma relação de quadratura na fase dos dois filtros. Assim, temos:

Para que este resultado sempre tenha fase zero para todas as frequências, a seguinte igualdade deve ser mantida:

Ou, alternativamente, descrito como:

$\phi_1$$A_1 = cos(\phi_1)$$A_2 = sin(\phi_1)$$\phi_1$

Quanto a uma possível intuição com o gráfico final que o OP mostrou e sua pergunta, considere que a derivada é uma função de passe alto - se você pegasse a derivada do pulso vermelho, obteria o pulso verde como resultado. Você não pode começar a obter esse resultado até que o pulso vermelho esteja presente, para que não haja violação da causalidade.

Eu pensei que era uma pergunta bastante interessante, então tentarei responder, embora com cinco anos de atraso.

Acho que você descobriu uma maneira de aplicar mal uma das maneiras de medir o atraso do grupo, ou seja, calculá-lo como a derivada negativa da fase. Nessa situação, esse método não é apropriado.

Nessa situação, uma maneira mais apropriada de medir o atraso do grupo é usar uma entrada de onda senoidal e medir o atraso entre a entrada e a saída somada. Obviamente, para obter uma imagem completa, você precisará fazer uma varredura de frequência, que é um aborrecimento, mas precisa.

Se você fizer isso, acho que todos podemos concordar que você medirá um atraso de grupo diferente de zero.

O atraso do grupo está relacionado ao grupo, ou seja, sinal modulado, portanto, a medição do atraso do grupo deve ser feita usando o grupo (sinal modulado). O grupo que entra no filtro deve ser o mesmo em relação à sua forma na saída do filtro. A forma significa, por exemplo, o espectro do grupo. As medidas feitas em uma única frequência não trazem informações sobre o atraso do grupo.