Por que números complexos são representados como a + ib e não podem ser como (a, b)?

Estou confuso quanto a por que precisamos representar os números complexos com o eixo y imaginário se podemos simplesmente representá-los como (x, y)?

Eu li que Multiplicação por i é uma rotação no sentido anti-horário de um quarto de círculo sobre o eixo y.

insira a descrição da imagem aqui

Multiplicar 1 por i dá i. A multiplicação de i por i mais uma vez faz outro quarto de círculo e dá -1. Portanto, multiplicar por -1 significa a rotação de um semicírculo. Esse é o significado de i * i = -1.

Então, o que isso significa?

Suponha que eu esteja resolvendo uma equação e acabei com uma resposta como 3i. Isso significa que mudei do eixo x para o eixo y por meio círculo no sentido anti-horário? Não consegui visualizar isso corretamente

signal-analysis

— Sufiyan Ghori
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Você costuma ver números complexos referenciados como um ponto no plano complexo . Não está claro qual é a sua pergunta; você parece entender a interpretação geométrica do plano complexo.

(x, y)

$(x,y)$

— Jason R

A representação (x, y) funciona para vetores que são semelhantes a números complexos; no entanto, você está perdendo toda a coisa "imaginária". Números complexos abrem uma nova dimensão para a análise porque eles suportam a raiz quadrada de números negativos. Como tais números complexos são animais verdadeiramente diferentes dos números reais e não podem ser representados simplesmente como vetores bidimensionais de números reais.

— user2718

Respostas:

Sim, no processamento de sinais, números complexos geralmente são visualizados no plano complexo, como você disse.

O motivo é que, se você os colocar em um avião, poderá medir duas quantidades importantes:

1) Magnitude , que é $\sqrt{x^2 + y^2}$

2) Ângulo de fase entre o seu ponto e a origem, dado por . $\tan^{-1} \frac{y}{x}$

Se você simplesmente os deixasse como um ponto, ( , ), não seria possível concretizar e fazer um quadro funcionar para essas quantidades. $x$ $y$

Você pode perguntar: por que essas quantidades, por sua vez, são importantes? No processamento de sinais, é claro que estamos lidando com sinais e, fisicamente, estamos lidando com sinais 'reais'. No entanto, embora um truque legal, uma oscilação constante de uma quantidade na vida "real" (como uma onda cosseno) seja equivalente a dois fasores, girando em direções opostas no plano complexo e somando juntos. Com essa estrutura, podemos ver que os ângulos de fase se 'cancelam' e que as magnitudes de seus resultados nos dão a magnitude de nosso sinal 'real'.

De fato, é isso que uma das fórmulas de Euler captura. Isso é:

\cos (2 π f t) = \frac{e^{j 2 π f t} + e^{- j 2 π f t}}{2}

$\cos(2\pi ft) = \frac{e^{j2\pi ft} + e^{-j2\pi ft}}{2}$

Você pode ver aqui como podemos facilmente relacionar um conceito do mundo "real", como uma onda cosseno oscilante, com o mundo "complexo" dos fasores, conforme eles existem e giram no plano complexo.

Esta é uma das pedras angulares do DSP.

— Spacey
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Para uma definição de números complexos, a simbologia "a + ib" e "(a, b)" são representações equivalentes, desde que as operações nesses símbolos sigam completamente o conjunto de regras para aritmética complexa (incluindo multiplicação que implica uma rotação).

O significado é que a aritmética complexa, usando essas regras aritméticas, na verdade simplifica todo um conjunto de teoremas e cálculos (incluindo soluções de raízes polinomiais, convergência de séries infinitas, etc.). Às vezes, o comportamento de pares de quantidades reais no mundo real pode ser aproximado por modelos usando aritmética sob essas regras e, em seguida, chamando uma das quantidades de "imaginária" para corresponder à simbologia computacional usada no modelo.

Considere isso como um "truque" matemático que é útil demais para não ser usado. por exemplo, Cardano e outros matemáticos italianos da era renascentista tentaram resolver equações cúbicas sem o uso de números complexos ou imaginários, e suas soluções foram muito mais complicadas por causa disso.

— hotpaw2
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+1. hotpaw2, você tem um exemplo de matemáticos da era Cardano e da Renascença tentando resolver equações cúbicas sem números complexos e com suas longas respostas? Se você souber de algum exemplo, isso ajudaria bastante os alunos a importância de números complexos no DSP.

— Spacey

Existem vários livros sobre a história da matemática que incluem essas histórias e detalhes. O IIRC, "An Imaginary Tale", de Nahin, é um dos muitos.

— hotpaw2

O livro que você sugeriu está disponível aqui :) lê-lo agora .. scribd.com/doc/102614774/An-Imaginary-Tale-the-Story-of-i

— Sufiyan Ghori

@Mohammad IIRC, este livro tem um capítulo inteiro sobre a solução do conflito cúbico de Cardano / Tartaglia .

— datageist

@datageist Ah! Fantástico - apenas pedi! :-)

— Spacey

Uma maneira de pensar em números complexos é visualizar como um "vetor unitário" na direção do eixo imaginário. $i$

De fato, o uso de números complexos como vetores unitários mais tarde se tornou a base para quanternions , que foram usados para representar quantidades vetoriais antes do desenvolvimento da análise vetorial moderna por Gibbs / Heaviside .

— Robert L.
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