Explicação do PSD (densidade espectral de potência)

Estou tentando entender como o PSD é calculado. Examinei alguns dos meus livros de engenharia de comunicação, mas sem sucesso. Eu também procurei online. A Wikipedia parece ter a melhor explicação; no entanto, me perco na parte em que eles decidem fazer o CDF (Função de Distrubuição Cumulativa) e, por algum motivo, decidem relacionar isso à função de autocorrelação.

Acho que o que não entendo é: como a autocorrelação tem algo a ver com o cálculo do PSD? Eu pensaria que o PSD simples seja a transformada de Fourier de (onde é a potência do sinal em relação ao tempo). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— user968243
fonte

Como você define

P (t)

$P(t)$

— Phonon

Eu realmente não o defino como nada. É apenas algum sinal de energia. Eu acho que se eu tivesse que defini-lo, seria

... Acho que o ponto é que o PSD não é

e tem algo a ver com autocorrelação e eu não entendo o que ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Você não pode realmente definir uma potência assim para sinais arbitrários. Não há conceitos de tensão e corrente. A potência neste caso é definida como a potência de uma onda (eletromagnética, se você preferir). Então é

, e é um número único, não uma quantidade variável no tempo.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— 9133 Phonon

Leia sobre o teorema de Wiener-Khinchin . Você está se recusando a entender o que o Phonon está apontando para você que o limite que você está calculando é uma constante e, portanto, sua transformação de Fourier é apenas um impulso em

no domínio da frequência. Se isso flutua no seu barco, vá em frente, mas não é a densidade espectral de potência, como todo mundo entende.

f = 0

$f=0$

— precisa saber é o seguinte

Eu li sobre esse teorema ... E eu entendo como ele relaciona a transformação de Fourier à autocorrelação. E não estou me recusando a entender o que Phonon disse ... Entendo exatamente o que @Phonon disse. O que eu não entendo é por que a fórmula de autocorrelação é usada e também não entendo por que a maneira de transformação de Fourier é usada (para obter o PSD, você pode fazer a transformação de Fourier, tirar a magnitude dela, quadrá-la etc.) ... Não faço ideia por que fazer isso daria um PSD e não consegui encontrar uma derivação decente.

— user968243

Respostas:

Você está certo, o PSD tem a ver com o cálculo da Transformada de Fourier da potência do sinal e adivinha o que ..... ele faz. Mas primeiro vamos ver a relação matemática entre o PSD e a função de autocorrelação.

Notações:
- Transformada de Fourier: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- Função de Correlação Automática (Tempo): $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Vamos provar que a transformada de Fourier da função de correlação automática é realmente igual à densidade espectral de potência do nosso sinal estocástico . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

O que tudo isso significa? Nota: Esta explicação é um pouco "hacky". Mas aqui vai

$\mathcal{F}[x(t)]$

E se você pegar a transformação Valor Esperado de Fourier, então? Isso não funcionaria. Vamos pegar um sinal de média zero, por exemplo.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

Instead, what if you take the Fourier transform of the square of the signal.

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Av. Power of the Signal}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

The autocorrelation function is essentially the $P(t)$ which you were alluding to.

References:

[1] Communications 1, P-L. Dragotti, Imperial College London

[2] White Noise and Estimation, F. Tobar [Unpublished Report]

— ssk08
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Fantastic Explanation! A small calculus question - are you able to interchange the

d t

$dt$ and the

d τ

$d\tau$ inside the double integrals, only because their limits are both from -

\infty

$\infty$ to +

\infty

$\infty$ ?

— Spacey

yes that's right.

— ssk08

Okay, I think that I kind of get it. I can see how the fourier transform is related to autocorrelation. I don't really understand, though, what the issue is with taking the fourier transform of

x (t)

$x(t)$ or

x^{2} (t)

$x^2(t)$ . I don't really see why the expected value needs to be taken (I know it averages it, but I don't know why that is necessary) and I don't really understand what you mean by 'for every realisation of the random process, you will have different expressions for'. If you could elaborate a little, that'd be great! Thank you for your time!

— user968243

@user968243 As far as the "for every realization" part, think of it this way: Your original signal, lets say length

N

$N$ , that you want to find the PSD for, is a random vector. So it is a vector with

N

$N$ components. Now, since this is a random vector, every time you 'roll the dice', you get different values for its components. One possibility might be [3 4 1 9 ...]. Another possibility might be [2.9 4.2 1.1 9.02...]. This is what he means when he says, "For every realization of a random process, (your vector), you get different expressions for" (the fourier transform. Make sense?

— Spacey

@Mohammad summed it up perfectly.

— ssk08

Nice derivation but I think you can do this even easier

Auto correlation $r(t) = x(t)*x(-t)$ , it's the convolution of the signal with it's time flipped self.

Convolution in the time domain is multiplication in the frequency domain.

Time flip in the time domain is "complex conjugate" in the frequency domain.

Hence we get

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
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Isn't the auto-correlation the convolution of the signal with it's complex conjugate, time-flipped self?

— Jim Clay

I think he is assuming that the signal is real.

— ssk08

@Jim & ssk08: you are both correct, of course. Thanks for cleaning up the equations.

— Hilmar

Explicação do PSD (densidade espectral de potência)

The autocorrelation function is essentially the P(t)P(t)P(t) which you were alluding to.

The autocorrelation function is essentially the $P(t)$ which you were alluding to.