Filtro IIR para suavização (filtro passa-baixo)

Estou usando o filtro IIR para suavizar

$$y[n] = ax[n]+(1-a)y[n-1]$$

Minha pergunta é: se eu adicionar outro filtro IIR, será a segunda ordem do filtro IIR? Se não, como pode ser chamado?

Meu segundo filtro é

$$y_2[n] = ay[n] + (1-a)y_2[n-1]$$

Se você aplicar dois filtros em uma cascata em série, o comportamento da cascata poderá ser expresso de duas maneiras diferentes. No domínio do tempo, a resposta de impulso geral do sistema pode ser calculada através da convolução das respostas de impulso de$y[n]$ e $y_2[n]$juntos. Para filtros IIR, isso pode ser um pouco complicado.

No domínio da frequência, o sistema geral de $z$função de transferência de domínio pode ser calculada multiplicando as funções de transferência $H_y(z)$ e $H_{y_2}(z)$juntos. Geralmente, essa é uma rota muito mais fácil para filtros com feedback.

No seu caso, os dois filtros realmente têm a mesma relação de entrada / saída (supondo que $y[n]$ é a entrada para $y_2[n]$. Usando o$z$transformação , é fácil descobrir que:

$$H_y(z) = H_{y_2}(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{a}{1 - (1-a)z^{-1}}$$

Usando o relacionamento mencionado acima, você pode calcular a função de transferência dos dois filtros em cascata usando:

$$H(z) = H_y(z) H_{y_2}(z) = \left(\frac{a}{1 - (1-a)z^{-1}}\right)^2$$

$$H(z) = \frac{a^2}{1 - 2(1-a)z^{-1} + (1-a)^2z^{-2}}$$

Podemos facilmente usar o inverso $z$-transform para retornar à equação da diferença para os dois filtros em cascata:

$$y_c[n] = a^2x[n] - 2(1-a)y[n-1]+(1-a)^2y[n-2]$$

Por inspeção, podemos afirmar que este é um filtro de segunda ordem (fornecido $a \not= 1\ $), como você suspeitava.

Sim, a combinação dos dois filtros IIR de primeira ordem seria chamada de filtro IIR de segunda ordem. O processo de combinar dois filtros de primeira ordem para formar um filtro de segunda ordem é chamado em cascata.