Qual é a resposta de fase e magnitude do ruído branco?

Gostaria de criar ruído branco no domínio da frequência e depois transformá-lo no domínio do tempo usando python. Para entender o problema, simplesmente gerei ruído branco no domínio do tempo e o transformei no domínio freq:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Eu não pareço como esperava: Perguntas:

• O ruído branco não deveria ter uma resposta de magnitude plana? (valores iguais para todas as frequências)
• Qual é a relação entre o desvio padrão (1 no meu exemplo) e a magnitude e a fase?

Agradeço antecipadamente!

O ruído branco não deveria ter uma resposta de magnitude plana? (valores iguais para todas as frequências)

A resposta de magnitude esperada do ruído branco é plana (é o que JasonR chama de densidade espectral de potência). Qualquer instância específica de uma sequência de ruído branco não terá uma resposta precisa e plana (é a isso que o comentário de JasonR se refere como espectro de potência).

De fato, a transformação de Fourier do ruído branco é ... ruído branco!

Qual é a relação entre o desvio padrão (1 no meu exemplo) e a magnitude e a fase?

Não haverá relação entre o desvio padrão e a fase. Quanto à magnitude, suponha que seja ruído branco estacionário com média zero e desvio padrão . Então a autocorrelação (covariância) é:$n(t)$$\sigma$

$$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$$

Portanto, a densidade espectral de potência é apenas (embora, por tempo discreto, haverá um dimensionamento com base na duração do sinal).$\sigma^2$

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Perguntas do comentário:

1. Quando você diz que a transformação de Fourier também é ruído branco, como posso medir o std-dev quando a transformação é complexa? Parte real, imaginária ou alguma combinação?

Suponha que nosso ruído seja de tempo discreto e seja (média zero, Gaussiana, ruído branco com variação ). Então a transformação é:$n[m]$$\sigma^2$

$$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$$

e o valor esperado é:

$$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

A variação da parte real é dada por:

$$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$$

Eu acredito que a parte imaginária se comportará da mesma maneira.

2. Você poderia me esclarecer como a duração do sinal está relacionada à densidade espectral de potência (para situações de tempo discreto)

Acredito que (com base na derivação acima), a densidade espectral de potência (o valor esperado do quadrado da DFT) escalará linearmente conforme a duração.

3. Se a fase não é afetada pelo std-dev, o que determina a amplitude de 3 graus e o tipo de distribuição (parece ser mais uniforme que normal)

Confira a tabela na página 2 deste arquivo PDF . diz que o argumento (fase) dos coeficientes será distribuído uniformemente, como você declara. Captura de tela da tabela incluída abaixo.