Variação do ruído gaussiano branco

Pode parecer uma pergunta fácil e sem dúvidas, mas estou tentando calcular a variação do ruído gaussiano branco sem nenhum resultado.

A densidade espectral de potência (PSD) do ruído gaussiano aditivo branco (AWGN) é enquanto a autocorrelação é , portanto a variação é infinita? $\frac{N_0}{2}$ $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— Mazzy
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O ruído não é a variação da tensão do ruído? Pode-se também perguntar sobre a variação (ou desvio padrão) da potência medida em um intervalo de tempo específico. Penso que o teorema do limite central descreveria a relação entre a duração do tempo de medição e a variação dos resultados.

Respostas:

O ruído gaussiano branco no caso de tempo contínuo não é o que é chamado de processo de segunda ordem (significando é finito) e, portanto, sim, a variação é infinita. Felizmente, nunca podemos observar um processo de ruído branco (gaussiano ou não) na natureza; só é observável através de algum tipo de dispositivo, por exemplo, um filtro linear (estável no BIBO) com função de transferência nesse caso, o que você obtém é um processo gaussiano estacionário com densidade espectral de potência e variância finita $E[X^2(t)]$ $H(f)$ $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N_{0}}{2} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

Mais do que você provavelmente deseja saber sobre o ruído gaussiano branco pode ser encontrado no apêndice desta nota de aula minha.

— Dilip Sarwate
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O curioso para mim é que o parâmetro

usado como a "variação" da distribuição gaussiana de

não é a variação da sequência. Como você diz, é porque

é infinito. Obrigado pela explicação clara!

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

— Peter K.

@PeterK. Há uma diferença entre as noções de ruído gaussiano branco para tempo discreto e tempo contínuo. Se um processo de tempo discreto é considerado amostra de um processo de tempo contínuo, levando em consideração que o amostrador é um dispositivo com largura de banda finita, obtemos uma sequência de variáveis aleatórias gaussianas independentes de variância comum

que é o que você tem na sua resposta. Se o

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

onde

é o AWGN do OP, então

Y [n] = \int_{(n - 1) T}^{n T} X (t) d t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

, não

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

como você o possui (exceto se

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

— precisa saber é o seguinte

@DilipSarwate Eu li o seu apêndice interessante. Mas você diz que "não se deve inferir que as variáveis aleatórias no processo WGN são elas próprias variáveis aleatórias gaussianas". Eu não entendi isso completamente. Se as variáveis aleatórias não são gaussianas (e isso me parece razoável, pois possuem variação infinita), por que o processo é denominado gaussiano?

— Surfista no outono

@Surferonthefall Tente escrever a função de densidade de probabilidade

das supostas variáveis aleatórias gaussianas no processo de ruído gaussiano branco

. A função de densidade tem valor

para todos os

. Como

ser visto como uma variável aleatória gaussiana? Como eu disse repetidamente no documento que você leu, não se deve olhar muito de perto as variáveis aleatórias em um processo de ruído branco

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

. O processo émíticoe é definido pelo que produz na saída do filtro linear, e não por qualquer outra coisa.

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

— precisa saber é o seguinte

Desculpe, isso deveria ter lido ".... tome o limite como

" e não como

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

— precisa saber é o seguinte

$x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} R_{x x} [τ] & = & E [x [t] x [t + τ]] \\ = & {\begin{matrix} E [x [t]^{2}], i f τ = 0 \\ 0, o t h e r w i s e \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$

δ [τ]

$\delta[\tau]$

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$

— Peter K.
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Sim, é: a menos que você leve em conta que é difícil obter poder infinito nesses tempos pós-big bang. Na verdade, todos os processos de ruído branco terminam em uma implementação física que possui uma capacitância e, portanto, limita a largura de banda efetiva. Considere os argumentos (razoáveis) que levam ao ruído Johnson R: eles produziriam energia infinita; exceto que sempre há limites de largura de banda na implementação. Uma situação semelhante se aplica no extremo oposto: ruído 1 / F. Sim, alguns processos ajustam-se muito bem ao ruído 1 / f por um longo tempo; Eu os medi. Mas no final você é limitado pelas leis da física.

— rrogers
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