Por que adicionar uma versão com atraso de um sinal a si próprio cria um sinal filtrado?

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Foi-me feita esta pergunta e não consegui encontrar uma resposta no local que não envolvesse o domínio da frequência (basicamente que os coeficientes da sequência de atraso são a resposta de impulso de um filtro FIR).

Alguém tem alguma idéia que torne esse processo "óbvio"?

filters

— Tom Kealy
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Quando você atrasar um sinal por segundos e adicioná-lo ao próprio sinal, você está cancelando ou anulando a componente de sinal na frequência de Hz uma vez que o componente de sinal terá mudado fase por exatamente : $T$ $\frac{1}{2T}$ $\pi$

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \sin (π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$ O mesmo ocorre em múltiplos ímpares de Hz também. Para frequências próximas, o cancelamento não é tão completo e, é claro, em múltiplos de Hz, o componente do sinal é dobrado em valor, em vez de ser cancelado. Da mesma forma, se o sinal atrasado for reduzido em amplitude, o cancelamento não será concluído em Hz etc.

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Para resumir, o sinal está sendo filtrado porque diferentes frequências estão sendo transmitidas com ganhos diferentes.

Se você deseja a explicação no domínio da frequência, a função de transferência do sistema é a transformação de Fourier do que a resposta de Matt deu como resposta de impulso, viz. que é uma função não constante de (de fato, varia sinusoidalmente de um máximo de a um mínimo de conforme discutido acima) e, portanto, não é um múltiplo escalar de . Filtragem! $H(f)$

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + \exp (- j 2 π f T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$

0

$0$

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— Dilip Sarwate
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Desculpe pelo atraso - como eu iria daqui (que a filtragem é interferência) para a necessidade de que a filtragem seja convolução dos dois sinais? Eu posso vê-lo (algebricamente) a partir da fórmula da soma de dois cossenos, mas não consigo intuir uma razão disso.

— Tom Kealy

Por favor, explique o que você quer dizer com "filtragem é interferência". Eu não entendo essa noção em tudo

— Dilip Sarwate

Bem, acabamos de estabelecer (ou temos?) Que adicionar dois sinais juntamente com fases diferentes é equivalente a filtrar com um atraso de tempo, porque as ondas interferem. Como eu iria (no domínio do tempo) dali para a convolução?

— Tom Kealy

Ainda não entendi a pergunta. é a saída de um filtro com resposta ao impulso cuja entrada é , como foi apontado na resposta de Matt. Se você deseja escrever a saída como uma convolução, você pode escrever onde, quando você avalia as integrais usando a propriedade de peneiração dos impulsos, obtém que você já sabia.

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$

x (t)

$x(t)$

y (t) = x ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) h (u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) [δ (u) + δ (u - T)] d u

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$

— Dilip Sarwate

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Se você definir a filtragem (invariante no tempo linear) como convolução, a resposta será óbvia: a soma de um sinal e uma versão atrasada dele pode ser escrita como uma convolução com uma resposta de impulso : onde é o atraso entre as duas versões do sinal. $h(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$

T

$T$

— Matt L.
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Se o atraso da versão adicionada atrasada de um sinal for exatamente um ciclo de qualquer conteúdo periódico, a saída será aumentada de forma aditiva. Se o atraso for exatamente metade do período de qualquer componente sinusoidal, esse componente interferirá destrutivamente e, portanto, será zerado na saída. Se o atraso for zero, o sinal será duplicado. Para combinações de frequência / fase que estão entre interferência destrutiva completa ou adição completa, o resultado do aditivo também estará no meio.

Aumentar e diminuir a saída, dependendo do conteúdo da frequência da entrada, é uma filtragem típica.

— hotpaw2
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