Freqüência zero de centralização para Transformação Discreta de Fourier

Estou trabalhando em um aplicativo de processamento de imagem que usa uma transformação fourier discreta para implementar a desfocagem / nitidez. O aplicativo está mais ou menos funcionando, mas algo sobre a mecânica ainda é confuso para mim.

Em particular, é como o processo de centralizar as frequências zero está sendo realizado.

O exemplo que eu vi processa previamente a imagem de entrada (de intensidades em escala de cinza) multiplicando-a por uma matriz de tamanho igual à imagem de entrada, cujos valores são , onde é a linha, é a coluna, então um padrão alternando e $(-1)^{x+y}$ $x$ $y$ $1$ $-1$

De acordo com as notas, isto é equivalente a trocar os quadrantes de matriz lançando entre os e eixo. $x$ $y$

Entendo por que isso é feito e gostaria de enfatizar que entendo que meu código / material de Fourier estão funcionando, só não entendo por que multiplicar a matriz de entrada por 1 / -1 acaba centralizando o componente de frequência zero em torno de 0.

obrigado

image-processing fourier-transform

— tonto
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Você também pode encontrar alguma referência no Capítulo 4, 4.6-Implementação do Digital Image Processing de Gonzalez (eu tenho a segunda edição). Espero que ajude.

— hakunami

Respostas:

Oh! Que truque legal! Funciona devido ao teorema da convolução (isto é, multiplicação no domínio espacial / tempo é equivalente a convolução no domínio da frequência).

$x$ $y$

Aqui está uma imagem de teste: . Sua transformação de Fourier se parece com: transformação de Fourier da imagem de teste

Se você tomar a transformada de Fourier da imagem alternada ( imagem quadriculado ), que resulta em um único ponto bem no centro da transformada de Fourier: insira a descrição da imagem aqui . (Lembre-se de que ainda não fizemos nossa rotação, o centro da transformação de Fourier são as altas e as baixas frequências ainda estão nos cantos.) Mas esse é o "núcleo de rotação!" A participação nesse kernel de rotação move tudo para baixo e para a direita (mas as coisas que caem do canto inferior direito giram para o canto superior esquerdo).

Convolving a imagem original com o kernel de rotação (no domínio da imagem) dá-lhe: imagem convolvida , enquanto convolving a transformada de Fourier imagem com o kernel de rotação (no domínio da freqüência) dá-lhe: transformada de Fourier girada .

E podemos verificar que multiplicando o TestImage pelo quadriculado no domínio da imagem dá imagem de multiplicação , que tem uma transformada de Fourier: transformada de Fourier novamente rotacionada .

— Lógica Errante
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Estou confuso. Isso está usando convolução para implementar uma fftshiftfunção -like? Não é computacionalmente mais barato apenas reorganizar os quatro quadrantes diretamente?

— Endolith

Não há convolução direta aqui. Isso está usando a multiplicação em pixels no domínio da imagem para obter o equivalente a uma convolução no domínio de quatro camadas. Sim, fftshiftnão é muito caro, mas esse truque pode ter um melhor comportamento de cache. A multiplicação de pixel é na verdade apenas lançando o sinal de qualquer outro pixel. Tão fácil de vetorizar, a gravação da leitura-modificação-gravação é um acerto garantido no cache, e é fácil para o processador pré-buscar as leituras.

— Wandering Logic

Oh, certo, é um sinal de virar, não uma multiplicação real.

— endolith

Por que a transformação de Fourier da imagem de teste (a segunda imagem) se parece com isso? Na verdade, vejo duas imagens, uma preta sobre a outra.

— hakunami

A resposta da Wandering Logic está correta e detalhada. Apenas pensei que você gostaria de ver um pouco de matemática em vez de fotos:

$(-1)^k = e^{j\omega}$ $\omega$ $2\pi (k/2)$

O efeito é que a frequência zero - que estava no índice 0 antes - agora está com metade da largura da imagem (ou altura, dependendo se você multiplica as colunas ou as linhas).

— nimrodm
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