Como as janelas foram originalmente concebidas?

Estou ciente dos tipos comuns de janelas (Hamming, Hanning, Kaiser, Tukey, etc etc). No entanto, embora muitos livros os descrevam - quase nenhum me diz exatamente como eles foram derivados.

O que há de tão sagrado na janela de hamming? E o hanning? Entendo que todos eles jogam na proporção entre largura do lóbulo principal e atenuação do lóbulo lateral, mas como exatamente eles foram derivados?

A motivação para minha pergunta é porque estou tentando descobrir se é possível projetar suas próprias janelas, que também afetam a largura do lóbulo principal e a energia do lóbulo lateral.

Esta é apenas uma resposta parcial, mas há uma palestra on-line em que Hamming fala sobre como ele criou sua janela de mesmo nome. A partir de aproximadamente 15:15, fornece o contexto completo.

Com uma história razoavelmente divertida, ele credita a John Tukey a invenção da teoria das janelas (para análise de espectro). No entanto, ele introduz todo o assunto no contexto do uso dos fatores sigma de Lanczos para reduzir o fenômeno de Gibbs . Além disso, em A arte de fazer ciência e engenharia (com base nas mesmas palestras), ele descreve como sua janela é uma variação da janela de Hann , que ele afirma ter sido usada por von Hann em economia (muito antes de sua aplicação no processamento de sinais). ) Isso sugere que a história vai muito mais longe, dependendo de como você deseja defini-la.

O livro em que Tukey nomeou pela primeira vez a janela de Hamming é A medição de espectros de potência do ponto de vista da engenharia de comunicações . Dada a afirmação de Hamming de que Tukey inventou a teoria das janelas, provavelmente seria um bom lugar para começar uma compreensão mais profunda de como projetar novas. Penso que o livro é apenas uma reimpressão das partes I e II do artigo do Bell System Technical Journal, por isso está disponível online.

Aqui está outra resposta parcial, principalmente sobre como projetar janelas personalizadas. Eu inventei isso enquanto fazia algo que (como eu sei agora, mas não o fiz) chamado "janelas no domínio da frequência". Então, depois de ler alguns documentos originais sobre janelas, percebi que provavelmente era assim que algumas janelas eram concebidas, mas não tenho nenhum conhecimento de fundo real.

Comece com uma janela retangular e observe sua transformação de Fourier, a função sinc:

Agora, escala e (frequência-) mudam dois deles para que os lobos laterais tendam a se anular quando somados:

(Resultado em verde; desculpe pela má qualidade e pela lenda inútil.)

Como você pode ver, os lóbulos laterais não são apenas reduzidos em geral, eles também rolam muito mais rapidamente.

$\cos(\pi t)$

Repita esse processo e você obtém melhor e melhor roll-off, ao custo de um lobo principal mais amplo:

$(\cos(\pi t))^2$$n$$(\cos(\pi t))^n$$n=4$$n$

Entre as janelas Blackman-Harris, elas produzem o roll-off do lóbulo lateral mais rápido. (Comecei a escrever uma prova disso, mas nem a terminei, porque como calcular roll-off e outros parâmetros parece ser um conhecimento comum entre os especialistas.)

Se você deseja otimizar algo além de roll-off, pode começar com uma janela que tenha roll-off suficiente e, em seguida, fazer algo semelhante ao acima, mas dimensione e mude de maneira diferente (geralmente usando três termos em vez de dois) . Isso manterá a rolagem exatamente igual, mas permite reduzir os primeiros lóbulos laterais, por exemplo.

Espero que isto ajude. Diverta-se.

A maioria das janelas conhecidas foi projetada de maneira mais ou menos ad-hoc, com base em alguma noção de suavidade no domínio do tempo. Até onde eu sei, existem duas janelas que são ótimas em algum sentido: a janela Chebyshev, que minimiza o nível máximo do lóbulo lateral (não energia!), E a janela prolato-esferoidal, que maximiza a taxa de energia entre o lóbulo principal e os lóbulos laterais. Há um artigo interessante sobre o design de janelas no domínio da frequência. Ele discute um algoritmo que minimiza a energia do lóbulo lateral sujeito a restrições no nível máximo do lóbulo lateral, ou seja, é uma mistura entre Chebyshev e a janela prolato-esferoidal. Este é o artigo: Uma nova janela ideal de JW Adams.