Amostrando a função Dirac

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Eu gostaria de fazer uma pergunta teórica sobre a função Dirac. A transformada de Fourier da função Dirac é o valor 1 (DC) para cada frequência. Se considerarmos o Teorema da Amostragem, temos que encontrar uma frequência máxima no sinal , para que possamos amostrar com . Mas, como podemos ver em sua Transformada de Fourier, a função Dirac contém todas as frequências; portanto, não podemos encontrar um apropriado . Minha pergunta é, do ponto de vista teórico, a função Dirac pode ser amostrada? $\ f_{max}$ $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ $f_s$

Edit: Obrigado por suas respostas úteis pessoal!

sampling

— George Tseres
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Na terra digital, a sequência x [n] = (1, n = 0) (0, caso contrário) faz a maioria dos trabalhos que a distribuição dirac faz no mundo analógico. É a função básica da convolução, tem uma resposta de frequência plana e é a resposta de impulso de um "fio". Isso é realmente uma coisa que é mais fácil em formato digital

— Hilmar

pessoalmente, acho que uma resposta mais concisa é "Não, um impulso dirac, , não pode ser amostrado em porque não há valor que a função (ou distribuição) assume em ". $\delta(t)$ $t=0$ $t=0$ não há função dirac delta no mundo físico, apenas aproximações a ele. então não há nada para provar.

— 22814 Robert Robinson-Johnson

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Qualquer sinal pode ser amostrado, independentemente de o teorema da amostragem manter ou não. O teorema da amostragem diz que, se a taxa de amostragem é suficiente, as amostras representam o sinal original completo.

Sinais com descontinuidades ou, pior ainda, distribuições como , não são limitados por banda, portanto a hipótese do teorema da amostragem nunca será válida. $\delta(t)$

Observe também que a demonstração usual do teorema da amostragem envolve a multiplicação do sinal por um trem de pulsos. Eu acredito que isso exclui os sinais de serem distribuições por completo, porque os produtos das distribuições não estão bem definidos .

Na prática, imagine amostragem em . Esta amostra tem um valor indefinido. $\delta(t)$ $t=0$

— Juancho
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"Qualquer sinal pode ser amostrado" - bem, um algoritmo de amostragem pode ser aplicado a qualquer sinal , sim, mas chamar esse processo de "amostragem" pode, dependendo do contexto, já afirmar que você espera poder reconstruir o sinal do resultado, ou seja, que as pré-condições para o teorema da amostragem sejam cumpridas.

— leftaroundabout

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$t$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t) d t = 1 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t - t_{0 0}) f (t) d t = f (t_{0 0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

$\delta^2(t)$

\sum_{n} δ (t - n T) δ (t) = δ^{2} (t)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

Os impulsos de Dirac são uma ferramenta conveniente para analisar sistemas lineares invariantes no tempo, mas devem ser tratados com cuidado, porque tipos comuns de processamento realizados em sinais comuns (como amostragem) podem levar a resultados indefinidos e sem sentido quando aplicados a impulsos de Dirac.

— Matt L.
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As informações transportadas por um Dirac são sua localização e intensidade. Vetterli et al. mostre como é possível amostrar um sinal dado pela soma de N diracs:

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

$x(t)$ $r_i$ $t_i$ $i=0,\ldots,N-1$ $x(t)$

Blu, Thierry et ai. "Amostra esparsa de inovações de sinal". Revista Signal Processing, IEEE 25.2 (2008): 31-40.

— Arrigo
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