Filtro FIR com fase linear, 4 tipos

Eu sei que existem 4 tipos de filtros FIR com fase linear, ou seja, atraso constante do grupo: (M = duração da resposta ao impulso)

1. Resposta ao impulso simétrica, M = ímpar

2. Criança levada. resp. simétrico, M = par

3. Criança levada. resp. anti-simétrico, M = ímpar

4. Criança levada. resp. anti-simétrico, M = par

cada um com suas características. Qual desses tipos é mais comumente usado no filtro FIR com projeto de fase linear e por quê? :)

Ao escolher um desses 4 tipos de filtros de fase linear, há principalmente três coisas a considerar:

1. restrições nos zeros de $H(z)$ em $z=1$ e $z=-1$

2. atraso do grupo inteiro / não inteiro

3. mudança de fase (além da fase linear)

Para filtros do tipo I (número ímpar de toques, simetria uniforme), não há restrições nos zeros em e z = - 1 , a mudança de fase é zero (além da fase linear) e o atraso do grupo é um número inteiro. valor.$z=1$$z=-1$

Tipo II (filtros número par de torneiras, mesmo simetria) sempre tem um zero em (isto é, metade da frequência de amostragem), que tem um deslocamento de fase de zero, e que tem um atraso de grupo não inteiro.$z=-1$

Tipo III filtros (número ímpar de torneiras de simetria ímpar) sempre têm zeros em e Z = - 1 (isto é, em f = 0 e f = f s / 2 ), que tem um deslocamento de fase de 90 graus, e um número inteiro atraso de grupo.$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

Os filtros do tipo IV (número par de derivações, simetria ímpar) sempre têm zero em , uma mudança de fase de 90 graus e um atraso de grupo não inteiro.$z=1$

Isso implica (entre outras coisas) o seguinte:

• Os filtros tipo I são bastante universais, mas não podem ser usados ​​sempre que for necessária uma mudança de fase de 90 graus, por exemplo, para diferenciadores ou transformadores Hilbert.

• Os filtros do tipo II normalmente não seriam usados ​​para filtros de passa alta ou de parada de banda, devido ao zero em , ou seja, em f = f s / 2 . Nem podem ser usados ​​para aplicações em que é necessária uma mudança de fase de 90 graus.$z=-1$$f=f_s/2$

• Os filtros tipo III não podem ser usados ​​para filtros seletivos de frequência padrão, porque nesses casos a mudança de fase de 90 graus é geralmente indesejável. Para os transformadores Hilbert, os filtros do tipo III têm uma aproximação de magnitude relativamente ruim em frequências muito baixas e muito altas devido aos zeros em e z = - 1 . Por outro lado, um transformador Hilbert tipo III pode ser implementado com mais eficiência do que um transformador Hilbert tipo IV, porque nesse caso todos os outros taps são zero.$z=1$$z=-1$

• Os filtros do tipo IV não podem ser usados ​​para filtros seletivos de frequência padrão, pelas mesmas razões que os filtros do tipo III. Eles são bem adequados para diferenciadores e transformadores de Hilbert, e sua aproximação magnitude é geralmente melhor, porque, ao contrário de filtros do tipo III, eles não têm zero em .$z=-1$

• Em algumas aplicações, é desejável um atraso no grupo inteiro. Nestes casos, os filtros tipo I ou tipo III são os preferidos.

Todos os filtros com resposta de impulso anti-simétrico têm zero em (isto é, frequência 0). Portanto, se você precisar implementar um filtro passa-alto ou semelhante a um derivado (ou mesmo passa-banda), deverá escolher os tipos 3 e 4.$z=1$

Da mesma forma, se o seu filtro é do tipo passa-baixo, os tipos 1 e 2 se aplicam.

Portanto, isso depende do tipo de filtro que você precisa criar, e não do qual é mais comum.

Então, há também uma diferença entre os tipos 1 e 3 vs. 2 e 4 em termos de resposta de fase. Haverá um adicional entre os dois tipos. Mesmo que você não se importe com o atraso real introduzido, essa diferença de meia amostra pode ser importante em termos de convergência em alguns casos de filtros passa-alta (a fase extra pode tornar sua resposta de frequência contínua em θ = π , fornecendo, portanto, convergência muito mais rápida e necessidade de menos coeficientes).$e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

Em termos de implementação, todos os quatro tipos podem ser implementados eficientemente sem repetir os mesmos coeficientes duas vezes.

Você precisa, é claro, de toda a linha de atraso do tamanho M. Mas, em vez de multiplicar cada uma das saídas derivadas pelo seu próprio coeficiente, você primeiro adiciona (ou subtrai) as duas saídas correspondentes e depois multiplica apenas uma vez pelo coeficiente.

$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$

Como já existem duas respostas muito boas, darei alguns exemplos básicos a partir dos quais as propriedades dadas nas outras respostas podem ser verificadas quanto à sanidade. Zero locais e respostas de fase estão disponíveis diretamente.

simétrico, M = ímpar

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

simétrico, M = par

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

$h[N/2] = 0$

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

anti-simétrico, M = par

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] um bom mitrappt de referência