Como os pólos estão relacionados à resposta em frequência

Recentemente, caí na falácia , considerando o polo s = 1, pois há uma resposta infinita na frequência 1. No entanto, a resposta foi de apenas 1. Agora, você pode derivar a resposta de frequência, dados os polos?

Segundo, a teoria diz que um sistema é estável quando os polos estão no plano s esquerdo e, portanto, decaem no tempo. Mas espere. Não significa "pólo" a resposta infinita - o crescimento no tempo?

Finalmente, é a pergunta certa no DSP? IMO, D significa digital, enquanto o domínio s é analógico. Não encontro tags s-plane ou Laplace transform para rotular minha postagem.

atualizar Obrigado pelas respostas. Parece que eu entendi, exceto a coisa menor, mas fundamental - a relação dos polos (e zeros) com a frequência. Basicamente, por que os valores próprios (ou, como você chama o operador / variável ) estão relacionados à frequência? De alguma forma, deve estar relacionado ao crescimento exponencial e à transformação de Laplace. Entendo perfeitamente que os pólos são autovalores (especialmente para recorrências discretas). Mas, como isso está relacionado à frequência? $s$

— Val
fonte

É "Troca de pilha de processamento de sinal", não "Troca de pilha DSP". :)

— endolith 12/06

Sim, como endoith mencionou, o processamento de sinal analógico está no tópico. DSP.SE era um nome conveniente para o lançamento inicial, mas o signs.stackexchange.com agora também está vinculado aqui.

— datageist

O que exatamente você quer dizer quando pede a relação entre poloneses e frequências?

— Sudarsan 04/08/13

Obviamente, é como e por que os polos determinam a resposta em frequência.

— Val

A resposta já foi dada, eu acho. A resposta em frequência é a magnitude da resposta do sistema à medida que você se move ao longo do eixo . Se você fatorou a Função de transferência do sistema no produto de e , tudo o que você precisa fazer é encontrar a magnitude em para a função de transferência e isso obviamente é determinado pelo local dos pólos e zeros, pois eles serão os que aparecerão na resposta do sistema fatorado.

j ω

$j\omega$

H (s)

$H(s)$

1 / (s - p_{i})

$1/(s-p_{i})$

(s - z_{i})

$(s-z_{i})$

s = j ω

$s=j\omega$

— Sudarsan 04/08/13

Respostas:

Eu acho que existem 3 perguntas na sua pergunta:

Q1: Posso derivar a resposta de frequência, considerando os polos de um sistema (linear invariante no tempo)?

Sim, você pode, até uma constante. Se , são os pólos da função de transferência, você pode escrever a função de transferência como $s_{\infty,i}$ $i=1,\ldots,N,$

\begin{matrix} (1) & H (s) = \frac{k}{(s - s_{\infty, 1}) (s - s_{\infty, 2}) \dots (s - s_{\infty, N})} \end{matrix}

$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$

Observe que é uma variável complexa , e a variável de frequência corresponde ao eixo imaginário do plano complexo . Agora precisamos obter a resposta de frequência da função de transferência. Para sistemas estáveis, isso pode ser feito simplesmente avaliando a função de transferência para . Então você substitui por em (1) e pronto. Observe, no entanto, que isso só é verdade para sistemas estáveis (ou seja, se a região de convergência de incluir o eixo ). $s$ $s=\sigma+j\omega$ $\omega$ $s$ $H(s)$ $s=j\omega$ $s$ $j\omega$ $H(s)$ $j\omega$

P2: Como um sistema estável pode ter postes?

Como você já sabe, para sistemas causais e estáveis, todos os pólos devem estar no semiplano esquerdo do plano complexo . De fato, o valor da função de transferência irá para o infinito no polo , mas a resposta de frequência será boa, porque se todos os polos estiverem no semiplano esquerdo, não haverá pólos no eixo (ou à direita). Se você observar no domínio do tempo, cada pólo (simples) terá uma contribuição de para a resposta de impulso do sistema. Se o polo estiver localizado no semi-plano esquerdo, isso significa que tem uma parte real negativa . então $s$ $H(s)$ $s=s_{\infty}$ $j\omega$ $e^{s_{\infty}t}$ $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ $\sigma_{\infty}<0$

e^{s_{\infty} t} = e^{σ_{\infty}} e^{j ω_{\infty}}

$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$

é uma função exponencialmente amortecida e não cresce, mas decai, porque . $\sigma_{\infty}<0$

Q3: Esta pergunta pertence aqui?

Outros membros da comunidade devem julgar se esta pergunta pertence a este lugar. Eu acho que sim. Obviamente, isso não está diretamente relacionado ao DSP puro, mas os engenheiros do DSP muitas vezes também precisam lidar com sinais e sistemas analógicos antes da conversão do AD, para que também saibam sobre a teoria contínua dos sistemas. Segundo, quase todas as pessoas com DSP (pelo menos aquelas com treinamento tradicional) tiveram bastante exposição a sinais gerais e à teoria de sistemas, incluindo sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto.

A propósito, para sistemas de tempo discreto, você obtém a transformação vez da transformação de Laplace, e sua variável complexa agora é chamada vez de . A variável que você mencionou é definida como e é usada principalmente na literatura de codificação. Por sua definição, denota um elemento de atraso, então significa "atraso" (não "digital"). $\mathcal{Z}$ $z$ $s$ $D$ $D=z^{-1}$ $D$

Se você souber que o meio plano esquerdo do plano complexo mapeado para a região dentro do círculo unitário do plano complexo (ou seja ), e o eixo mapeia o círculo unitário , quase tudo o que você sabe sobre um dos dois domínios será facilmente transferido para o outro domínio. $s$ $z$ $|z|<1$ $j\omega$ $|z|=1$

— Matt L.
fonte

Penso que a resposta em frequência envolve conjugação complexa além de s em H (s) para s = jω.

— Val

Uma coisa que realmente me ajudou a entender pólos e zeros é visualizá-los como superfícies de amplitude. Várias dessas plotagens podem ser encontradas em A Filter Primer . Algumas notas:

Provavelmente é mais fácil aprender primeiro o plano S analógico e, depois de entendê-lo, aprenda como o plano Z digital funciona.
Um zero é um ponto no qual o ganho da função de transferência é zero.
Um polo é um ponto no qual o ganho da função de transferência é infinito.
Frequentemente, existem zeros ou pólos no infinito, que nem sempre são incluídos nas descrições da função de transferência, mas são necessários para entendê-la.
A resposta de frequência no plano S ocorre apenas ao longo do eixo jω.
- A origem é 0 Hz, ou DC, e a frequência de corte dos filtros aumenta radialmente para longe da origem. Colocar um polo em qualquer ponto ao longo de um círculo a uma certa distância da origem produzirá a mesma frequência de corte.
- Para aumentar a frequência de corte de um filtro, mova os pólos radialmente para fora.
- Para aumentar o Q de um filtro de biquad, mova os pólos ao longo do círculo em direção ao eixo jω, o que mantém a frequência de corte constante, mas aumenta o efeito que o pólo tem na resposta de frequência, tornando-o mais "pico".
Se um zero aparecer no eixo jω, a resposta da frequência cairá para zero nessa frequência; se você inserir uma onda senoidal nessa frequência, a saída será 0.
Se um polo aparecer no eixo jω, a resposta ao impulso será um oscilador; qualquer impulso fará com que ele toque para sempre nessa frequência. Os impulsos têm energia finita, mas a resposta do filtro tem energia infinita, por isso possui ganho infinito.

Um exemplo simples é um integrador H (s) = 1 / s:

Esta função é igual a 0 quando s é infinito, portanto, ele tem um zero no infinito.
Essa função é igual ao infinito quando s é zero, então ele tem um polo em zero.

Em outras palavras, ele possui um ganho infinito no DC (a resposta de etapa de um integrador aumenta para sempre) e o ganho diminui à medida que a frequência aumenta:

Gráfico Bode do integrador

Afastar o polo da origem, ao longo do eixo imaginário para a mão esquerda do plano S, torna o ganho a 0 Hz no eixo jw finito novamente e agora você tem um filtro passa-baixo:

insira a descrição da imagem aqui

— endólito
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+1, boa resposta. Mas não entendo o que você quer dizer com "Qualquer ponto ao longo de um círculo a uma certa distância da origem tem a mesma frequência". Curvas de frequência constante no plano

são linhas paralelas ao eixo real. Para círculos com origem em

Você começa

, onde

s

$s$

s = 0

$s=0$

σ^{2} + ω^{2} = c o n s t

$\sigma^2+\omega^2=const$

s = σ + j ω

$s=\sigma+j\omega$

— Matt L.

Ele parece confundir plano s com z-plano

— Val

@MattL .: Hmmm. Estou pensando nos pólos de um filtro Butterworth de ordem n de estar em um círculo equidistante da origem, por exemplo, ou nos pólos de um biquad se movendo ao longo de um círculo equidistante da origem, conforme você ajusta o Q do filtro enquanto mantém a constante de frequência, ou alterando o corte de um filtro, movendo os pólos para mais perto ou para longe da origem em uma direção radial, ou convertendo a passagem baixa em passagem alta invertendo os pólos em torno do círculo unitário. Como devo reformular isso?

— Endolith 13/06/2013

@ Val: frequência de corte . Já editei a postagem para corrigi-la.

— endolith 13/06

Val, não há necessidade de um comentário sarcástico para @endolith.

— Spacey

Não vou contar o mapeamento completo dos pólos (1) / zeros (0) para a resposta de frequência, mas acho que posso explicar a conexão entre frequência e resposta zero / infinita, por que você tem resposta infinita / zero em ou seja que tem a ver com . $e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$ $e^{-jw}$ $z$

A forma geral do sistema linear é que pode resolva em z-de como

y_{n} + a_{1} y_{n - 1} + a_{2} y_{n - 2} + \dots = b_{0} x_{n} + b_{1} x_{n - 1} + b_{2} x_{n - 2} + \dots,

$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$

Y (z) = \frac{(b_{0} + b_{1} z + b_{2} z^{2} + \dots)}{(1 + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots)} X (z) = H (z) X (z) = \frac{(1 - z_{0} z) (1 - z_{1} z) \dots}{(1 - p_{0} z) (1 - p_{1} z) \dots} X (z) .

$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$

No final, a série de produtos binomiais pode ser considerado como uma série de sistemas, onde a primeira saída é a entrada para outra. $(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$

Eu gostaria de analisar o efeito de pólo único e zero. Vamos destacar o primeiro zero, considerando a função de transferência para que o restante de seja o sinal de entrada, que corresponde a alguns Vamos dar $H(z)X(z)$ $Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$ $y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$ para simplificar. Quero dizer que . $b_0=b_1=1$ $y_n = x_n + x_{n-1}$

O que queremos determinar o efeito do sistema H (z) sobre o sinal harmônico. Ou seja, a entrada será o sinal de teste A resposta será

x_{n} = e^{j w n} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{j w} z + e^{2 j w} z^{2} + \dots = 1 / (1 - e^{j w}) = X (z) .

$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$

ou seja,

é a função de transferência ou

y_{n} = x_{n} + x_{n - 1} |_{x_{n} = e^{j w n}} = e^{j w n} + e^{j w (n - 1)} = e^{j w n} (1 + e^{- j w})

$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$

1 + e^{- j w}

$1+e^{-jw}$

Y (z) = \frac{(1 + z)}{(1 - e^{j w} z)} = (1 + z) X (z)

$Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$

Observe que basicamente diz que a saída é a soma do sinal de entrada mais o sinal deslocado, uma vez que único representa atraso de relógio único no domínio do tempo. $1+z$ $z$

Agora, como explicado em , . O cosseno faz com que ele se comporte como um filtro passa-baixo $H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$

{\begin{cases} w = 0 & \Rightarrow & H (j 0) = 1 \cdot 2 \cos (0) = 2 \\ w = π & \Rightarrow & H (j π) = e^{j π / 2} 2 \cos (π / 2) = 0 \end{cases}

$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$

$2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$

$y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$ $w=0$ $sin(0)=0$

H (j w) = 1 - e^{- j w} = 0 \Rightarrow e^{- j w} = 1 = e^{0} \Rightarrow w = 0.

$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$

$H(z) = 1\pm z$ $H(jw)=1\pm e^{-jw}$ $e^{-jw}$

$y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ $\pm$ $1\pm z=0$ $e^{jwn}$ $e^{jw(n-1)}$ $e^{jw}$ $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ $1\pm e^{-jw}$ $1\pm z=0$

$y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$

Y (z) = (b_{0} + b_{1} z) X (z) = (b_{0} + b_{1} z) (1 + x_{1} z + x_{2} z^{2} + \dots) = b_{0} + (b_{0} x_{1} + b_{1} x_{0}) z + (b_{0} x_{2} + b_{1} x_{1}) z^{2} + \dots .

$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$

b_{0} + b_{1} z = 0

$b_0+b_1 z = 0$

z = - b_{0} / b_{1},

$z=-b_0/b_1,$

y_{n} (x_{n} = e^{j w n}) = b_{0} e^{j w n} + b_{1} e^{j w (n - 1)} = e^{j w n} (b_{0} + b_{1} e^{- j w}) = e^{j w n} b_{0} (1 - z_{0} e^{- j w}),

$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$

$1-z_0 e^{-jw} = 0$ $e^{-jw} = 1/z_0$ $z$ $z=e^{-jw}$ . The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$ , a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$ . The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$ , under assumption $y_0 = 0$ , has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$ .

O retorno $a$ é equivalente a resposta de impulso infinito ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$ . Diz que a resposta é infinita quando $z=1/a$ . O que significa se aplicarmos o sinal de teste

x_{n} = e^{j W n} \overset{z}{\leftrightarrow} X (z) = 1 + e^{j W} z + e^{2 j W} z^{2} + \dots = 1 / (1 - e^{j W} z)

$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$ ao nosso sistema? Nós conseguiremos

Y (z) = \frac{1}{1 - a z} \frac{1}{1 - e^{j w} z},

$Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ ou

y_{n} = e^{j W n} + uma e^{j W (n - 1)} + {uma}^{2} e^{j W (n - 2)} + \dots = e^{j W n} (1 + uma e^{- j W} + {uma}^{2} e^{- 2 j W} + \dots) = \frac{e^{j W n}}{1 - uma e^{- j W}} .

$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$ Ou seja, a resposta em frequência é

1 / (1 - a e^{- j w}),

$1/(1-ae^{-jw}),$ que vai para o infinito quando

e^{- j w} = 1 / a,

$e^{-jw}=1/a,$ o mesmo que

z_{p o l e}

$z_{pole}$ acima,

e^{- j w} = z_{p o l e} = 1 / a

$e^{-jw}=z_{pole}=1/a$ . Mas, novamente, você nem sempre pode chegar ao poste

1 / a

$1/a$ ajustando a frequência

w

$w$ sozinho. As funções de base de frequência devem estar em geral diminuindo a amplitude e parecer

(k e^{j w})^{n}

$(ke^{jw})^n$ .

Ou seja, zeros ou pólos da função de transferência $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$ , which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$ , also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$ . It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$ , the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$ .

Ficaria feliz se alguém pudesse explicar o mesmo de forma mais condensada ou mais clara.

— Valentin Tihomirov
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