Quais ferramentas matemáticas existem para entender o ruído modulado?

Suponha que tenhamos um sinal $n$ que consiste em ruído branco gaussiano. Se modularmos esse sinal multiplicando-o pelo $\sin 2\omega t$ , o sinal resultante ainda possui um espectro de potência branco, mas claramente o ruído está agora "agrupado" no tempo. Este é um exemplo de um processo cicloestacionário .

x (t) = n (t) \sin 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

Suponha que agora desmodulemos esse sinal em uma frequência $\omega$ misturando com osciladores locais seno e cosseno, formando sinais I e Q:

I = x (t) \times \sin ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

Observando ingenuamente que o espectro de potência de $x(t)$ (tomado em um intervalo de tempo muito maior que $1/f$ ) é branco, esperamos que $I$ e $Q$ contenham ruído gaussiano branco da mesma amplitude. No entanto, o que realmente acontece é que a quadratura $I$ amostragem seletivamente as porções das séries temporais $x(t)$ com alta variação, enquanto $Q$ , noventa graus fora de fase, amostragem as porções de menor variação:

representação de ruído modulado

O resultado é que a densidade espectral do ruído em I é $\sqrt{3}$ vezes maior do que $Q$ .

Claramente, deve haver algo além do espectro de potência que seja útil na descrição de ruído modulado. A literatura da minha área possui vários artigos acessíveis que descrevem o processo acima, mas eu gostaria de aprender como ele é tratado de maneira mais geral pelas comunidades de processamento de sinais / EE.

Quais são algumas ferramentas matemáticas úteis para entender e manipular o ruído ciclostacionário? Qualquer referência à literatura também seria apreciada.

Referências:

Niebauer et al, "Ruído não estacionário de tiro e seu efeito na sensibilidade dos interferômetros". Phys. Rev. A 43, 5022–5029 .

noise modulation cyclostationary-random-process

— nibot
fonte

Para obter os resultados que você mostra, seu desmodulador deve converter pela mesma frequência portadora,

, não apenas

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— Jason R

@ Jason R, Ah, vejo que cometi um erro com a modulação original de

. É devido a um erro ao mudar do ruído de Poisson para o ruído gaussiano.

2 ω

$2\omega$

— Nibot

Não sei exatamente o que você está procurando aqui. O ruído é tipicamente descrito através de sua densidade espectral de potência, ou equivalentemente, sua função de autocorrelação; a função de autocorrelação de um processo aleatório e seu PSD são um par de transformadas de Fourier. O ruído branco, por exemplo, tem uma autocorrelação impulsiva; isso se transforma em um espectro de potência plana no domínio de Fourier.

Seu exemplo (embora um pouco impraticável) é análogo a um receptor de comunicação que observa ruído branco modulado pela operadora a uma frequência de $2 \omega$ . O exemplo de receptor é bastante afortunado, pois possui um oscilador que é coerente com o do transmissor; não há deslocamento de fase entre os sinusóides gerados no modulador e no demodulador, permitindo a possibilidade de conversão "perfeita" para a banda base. Isso não é prático por si só; existem inúmeras estruturas para receptores de comunicações coerentes. No entanto, o ruído é tipicamente modelado como um elemento aditivo do canal de comunicação que não está correlacionado com o sinal modulado que o receptor procura recuperar; seria raro um transmissor realmente transmitir ruído como parte de seu sinal de saída modulado.

Com isso fora do caminho, no entanto, uma olhada na matemática por trás do seu exemplo pode explicar sua observação. Para obter os resultados que você descreve (pelo menos na pergunta original), o modulador e o demodulador têm osciladores que operam em uma frequência e fase de referência idênticas. O modulador gera o seguinte:

\begin{aligned} n (t) & \sim N (0, σ^{2}) \\ x (t) & = n (t) \sin (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

O receptor gera os sinais I e Q convertidos para baixo da seguinte maneira:

\begin{aligned} I (t) & = x (t) \sin (2 ω t) = n (t) \sin^{2} (2 ω t) \\ Q (t) & = x (t) \cos (2 ω t) = n (t) \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

Algumas identidades trigonométricas podem ajudar a aprofundar e pouco mais: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} \sin^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

Agora podemos reescrever o par de sinais convertidos para baixo como:

\begin{aligned} I (t) & = n (t) \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ Q (t) & = \frac{1}{2} n (t) \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

O ruído de entrada tem média zero, então e também têm média zero. Isso significa que suas variações são: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{I (t)}^{2} & = E (I^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) \sin^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E (\sin^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

Você anotou a razão entre as variações de e na sua pergunta. Pode ser simplificado para: $I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

As expectativas são assumidas sobre a variável de tempo do processo aleatório . Como as funções são determinísticas e periódicas, isso é realmente apenas equivalente ao valor do quadrado médio de cada função sinusoidal durante um período; para os valores mostrados aqui, você obtém uma razão de $n(t)$ $t$ , como você observou. O fato de você obter mais potência de ruído no canal I é um artefato de ruído sendo modulado de forma coerente (ou seja, em fase) com a referência sinusoidal do próprio demodulador. Com base na matemática subjacente, esse resultado é esperado. Como afirmei antes, no entanto, esse tipo de situação não é típico. $\sqrt 3$

Embora você não tenha perguntado diretamente sobre isso, gostaria de observar que esse tipo de operação (modulação por uma transportadora sinusoidal seguida de desmodulação de uma reprodução idêntica ou quase idêntica da transportadora) é um elemento fundamental nos sistemas de comunicação. Um receptor de comunicação real, no entanto, incluiria uma etapa adicional após a desmodulação da portadora: um filtro passa-baixo para remover os componentes de sinal I e Q na frequência . Se eliminarmos os componentes de frequência de portadora dupla, a proporção de energia I para energia Q será semelhante a: $4 \omega$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

Esse é o objetivo de um receptor de modulação de quadratura coerente: o sinal que é colocado no canal em fase (I) é transportado para o sinal I do receptor sem vazamento no sinal de quadratura (Q).

$\omega\$ $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ $B$

$x(t)$ $R(t, \tau)$

R (t, τ) = E (x (t) x (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ)) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

$n(t)$ $\tau$

R (t, τ) = σ^{2} δ (τ) \sin^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

$x(t)$

— Jason R
fonte

Re: "Este é o objetivo de um receptor de modulação em quadratura coerente ..." - isso é verdade apenas se o sinal original estiver limitado por banda a frequências inferiores à frequência da portadora, certo?

— Nibot

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$

δ (t)

$\delta(t)$

Eu editei a resposta para falar sobre seus dois comentários.

— Jason R

@ Jason, bom post. No entanto, estou tentando entender a parte em que você fala sobre o processo de cicloestação. Estou tendo dificuldade para entender por que 't' aqui é uma função de R ... - após o operador de expectativa, não há mais variável 't' (time) ... apenas uma função de tau.

— Spacey

@ Jason deixa pra lá, eu acabei de perceber que 't' deve estar lá, já que as estatísticas mudam com o tempo (embora ciclicamente) e, portanto, a função autocorr também será uma função de tempo e atraso ... mas o que eu não entendo em Neste caso, é como você obteve o delta * sin ^ 2 ... isso justifica uma pergunta real para eu postar?

— Spacey