Uma matriz de Bernoulli assimétrica satisfaz o RIP?

Defina uma matriz de detecção por com probabilidade , e com probabilidade . Does satisfazem a propriedade isometria restrito ? $n\times N$ $A$ $A_{ij} = 0$ $p$ $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ $1-p$ $A$

Para referência, o caso simétrico é respondido no seguinte artigo:

RG Baraniuk, MA Davenport, RA DeVore e MB Wakin, "Uma prova simples da propriedade de isometria restrita para matrizes aleatórias", Constructive Approximation, 28 (3) pp. 253-263, dezembro de 2008. ( pdf )

compressive-sensing

— olivia
fonte

Isso pode ser um ponteiro: ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379 (infelizmente, é pago e não encontrei uma cópia do OA). Não conheço o artigo em detalhes, mas o que posso ver rapidamente é que eles não consideram um caso tão geral quanto você pede; eles consideram p = 1/2. Além disso, não sei o quanto eles são detalhados sobre o RIP dessas matrizes.

— Thomas Arildsen

Isso também pode ser uma dica: rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf (página 98). Infelizmente, parece que o que ele chama de variáveis aleatórias de Bernoulli é aleatório +/- 1 - não 0/1 (eu chamaria esses Rademacher).

— Thomas Arildsen

Permita-me repetir a essência de um comentário que fiz no post idêntico (agora excluído) no stats.SE : Isso ajudaria a tornar essa pergunta mais precisa e a indicar exatamente o que você está interessado e o que está lutando para se adaptar. O comentário de @Thomas é relevante; nós também não sei o grau (ou seja, a ordem) de dispersão que você está interessado. Mesmo se considerarmos funções Rademacher, a resposta é claramente não em qualquer uniforme (em ) sentido, para deixar ser (ou, suficientemente próximo ) para que exista (uma alta probabilidade de) uma submatriz ser todas. (continuação)

p

$p$

p

$p$

1

$1$

— cardeal

Ao escolher uma sequência como uma função de , isso será verdadeiro para alguns para qualquer matriz de tamanho. Por outro lado, para fixo , se modificarmos a construção para que com probabilidade e com probabilidade , então a resposta é claramente sim , pois isso decorre da teoria muito mais geral relacionada às matrizes aleatórias subgaussianas com média zero.

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$

p

$p$

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$

(1 - p)

$(1-p)$

— cardinal

obrigado @ cardinal, a matriz não tem média zero, mas a teoria das matrizes aleatórias subgaussianas responde a essa pergunta. Eu queria saber como poderia satisfazer o RIP dado não preserva norma, mas é óbvio que existe um dimensionamento apropriado de que faz

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— Olivia

Como outros declararam nos comentários, a resposta é "Não". A média diferente de zero da matriz determina que um vetor médio diferente de zero (digamos, todos), terá um ganho substancialmente mais alto do que um vetor aleatório com média zero (digamos, aleatoriamente uniforme + 1, -1).

Considere a norma ao quadrado de A vezes que se espera que um vetor constante y seja n * (p * N) ^ 2. (iteração de expectativas)

A norma ao quadrado de A vezes que um vetor x desenhado uniformemente de (-1, + 1) deve ser n * (p * N). (calculável pela soma das variações da distribuição binomial)

As normas de xey são as mesmas, mas a expectativa de normas transformadas difere por um fator de p * N - divergindo à medida que as dimensões aumentam.

Aqui está o código do matlab para ajudar a demonstrar.

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— Mark Borgerding
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