Quais filtros IIR se aproximam de um filtro gaussiano?

Por isso, recentemente me dei conta de que os filtros de Bessel, apesar de serem listados junto com os outros tipos comuns, são realmente estranhos que pertencem a uma "classe" diferente, e estou tentando aprender mais sobre isso.

A resposta de magnitude retangular representa a resposta ideal no domínio da frequência, pois a banda de transição é zero e a banda de parada possui atenuação infinita. A resposta de magnitude gaussiana, por outro lado, representa a resposta ideal no domínio do tempo, na medida em que não ocorrem superações na resposta de impulso e na resposta de etapa. Muitas das respostas obtidas na prática são aproximações dessas ^fontes ideais.

Portanto, um filtro brickwall é convolucionado com uma função sinc e possui as seguintes propriedades no domínio da frequência:

• Banda passante plana
• Zero stopband
• Taxa de rolagem infinita / sem banda de transição

É não-causal e irrealizável por causa das caudas infinitas em ambas as direções. É aproximado por esses filtros IIR, com a aproximação melhorando à medida que a ordem aumenta:

• Butterworth (banda passante maximamente plana)
• Chebyshev (taxa máxima de roll-off com ondulação de banda de parada ou banda passante)
• Elíptico (taxa máxima de retirada com ondulação de banda de parada e banda passante)
• Legendre (taxa máxima de retirada com banda passante monotônica)

O filtro gaussiano é convolucionário com uma função gaussiana e possui as seguintes propriedades no domínio do tempo:

• Excesso zero
• Elevação mínima e tempo de queda
• Atraso mínimo do grupo

É irrealizável pelos mesmos motivos que a função sinc e pode ser aproximado por esses filtros IIR, mais próximo à medida que a ordem aumenta:

• Bessel (atraso máximo do grupo plano) de ^{acordo com 1 e 2}

$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

Então, minhas perguntas são:

Está tudo bem até agora? Em caso afirmativo, existem outros filtros IIR que se aproximam do gaussiano? Para que eles são otimizados? Talvez um que minimiza o overshoot?

Se você procurar "IIR Gaussian", poderá encontrar algumas coisas (Deriche? Van Vliet?), Mas não sei se são realmente iguais a um Bessel ou se otimizam para outras propriedades, etc.

O Deriche e filtros van Vliet são heurísticos. Nos dois casos, eles escolhem os locais de pólos e zeros para minimizar a diferença RMS ou a diferença máxima da resposta de impulso do filtro de um gaussiano.

Ambos os filtros são pares causal-anti-causal. Portanto, acho que eles não têm erro de fase ou atraso de grupo, mas é necessário executá-los tanto para trás quanto para a frente. Isso os torna populares no processamento de imagens, mas talvez restrinja sua aplicabilidade em outros lugares.

O fato de serem heurísticas é evidenciado pela riqueza de papéis que os ajustam. Por exemplo, uma pesquisa no google (enquanto eu procurava o link para o artigo Deriche) encontrou uma que tenta resolver o problema de que o filtro derivado de gaussiano de Deriche não tem uma resposta exatamente igual a 0 DC. Existem também alguns problemas interessantes sobre como inicializar corretamente as condições de contorno .

Eu achei a seguinte visão geral um bom recurso: Dave Hale, filtros gaussianos recursivos , relatório do Centro de Fenômenos de Ondas da Escola de Minas do Colorado para o relatório CWP-546.

Acho que você deu um bom resumo das soluções analíticas existentes para filtros IIR em tempo discreto. Mas eu também adicionaria filtros de Bessel à lista de filtros que se aproximam das características ideais de filtro seletivo de frequência. Sua resposta de magnitude não mostra uma transição tão nítida quanto os outros tipos de filtro da mesma ordem, mas esse é o preço que você paga por uma fase quase linear na banda passante. Portanto, o filtro de Bessel é um compromisso entre uma resposta de magnitude seletiva em frequência e uma boa resposta de fase.

Para aproximar um filtro gaussiano com filtros IIR, não conheço nenhuma solução analítica, além do filtro de Bessel que você mencionou. Mas observe que o filtro Bessel não foi feito para se aproximar de um filtro gaussiano, portanto, não tenho certeza de quão bom é realmente aproximar esse filtro. Se você realmente deseja um filtro IIR para esse fim, sugiro que você faça uma aproximação numérica do filtro gaussiano. Existem várias opções de como fazer isso.

Você pode tentar aproximar o filtro gaussiano no domínio da frequência. O problema é que você precisa tomar alguma decisão sobre a resposta de fase desejada. Uma aproximação de magnitude pura com resposta de fase mínima provavelmente resultará em propriedades muito pobres no domínio do tempo. Se você especificar uma fase linear desejada, obterá um problema de aproximação complexo (porque você aproxima a resposta de frequência complexa com magnitude e fase). Embora esse problema de aproximação possa ser bastante difícil de resolver, existem métodos na literatura.

Uma abordagem mais simples e provavelmente melhor é aproximar o filtro gaussiano no domínio do tempo. O método de Prony seria um bom ponto de partida.

Observe que esses são apenas meus pensamentos sobre o assunto. Eu não tentei projetar um filtro gaussiano IIR. Na verdade, eu iria para uma implementação FIR, a menos que existam boas razões contra isso.

EDITAR: apenas mais algumas observações sobre a questão de saber se um filtro de Bessel se aproxima de um gaussiano ou não. Não conheço nenhum critério de erro significativo que o filtro de Bessel minimize ao se aproximar de um filtro gaussiano. Eu ficaria feliz em aprender sobre isso embora. As pessoas podem alegar que a resposta de impulso de um filtro de Bessel é semelhante a gaussiana ou que sua resposta de frequência se assemelha a gaussiana, mas ainda não vi nenhuma prova de que os filtros de Bessel se aproximem de um gaussiano de alguma maneira e que o erro de aproximação vá para zero à medida que a ordem do filtro aumenta. Não nego que seja mais parecido com um gaussiano do que com outros filtros padrão (Butterworth, Chebyshev etc.), mas isso não é importante para a questão.

Veja abaixo quatro gráficos de respostas de impulso de filtros de Bessel (pedidos 5, 10, 15, 20), projetados em Octave (função própria). Como você pode ver, o zumbido na cauda não diminui com o aumento da ordem dos filtros, e não vejo como esses filtros se aproximam de um gaussiano e, em caso afirmativo, de acordo com qual critério de otimização. No entanto, se alguém puder me esclarecer sobre isso, eu ficaria mais do que feliz.