Como encontrar estimativas suavizadas da derivada e da segunda derivada de um sinal?

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Eu tenho um sinal amostrado em : onde . Eu quero encontrar a primeira e segunda derivada do sinal: e . $\Delta t$ $f_i(t_i=i\Delta t)$ $i = 0,\ldots,n-1$ $f'(t)$ $f''(t)$

Meu primeiro pensamento foi estimar os derivativos por diferenças centrais:

\begin{aligned} f^{'} (t_{Eu}) & = \frac{f (t_{Eu + 1 1}) - f (t_{Eu - 1 1})}{2 Δ t} \\ f^{″} (t_{Eu}) & = \frac{f (t_{Eu + 1 1}) - 2 f (t_{Eu}) + f (t_{Eu - 1 1})}{(Δ t)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} f'(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{2\Delta t}\\ f''(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-2f(t_{i})+f(t_{i-1})}{(\Delta t)^2} \end{align}$

No entanto, o sinal pode ter muito ruído de alta frequência que pode causar flutuações rápidas em $f'$ e $f''$ .

Qual seria a melhor maneira de encontrar estimativas "suavizadas" de $f'$ e $f''$ ?

filters smoothing

— Andy
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Provavelmente depende mais dos seus dados. Apenas saiba que, como a diferenciação é uma operação linear, se você escolher qualquer filtro linear para suavizar f 'e f' ', será equivalente a suavizar f usando o mesmo filtro e, em seguida, obtendo suas derivadas.

Você pode postar algumas fotos ou mais informações sobre o sinal que deseja diferenciar? Provavelmente o que você está procurando é algum tipo de filtro passa-baixo para suavizar o sinal. Algumas opções realmente simples incluem um filtro recursivo unipolar como ou um filtro Hann, que está apenas convencendo o sinal com uma janela Hann. A opção de filtro Hann é boa porque é de fase linear. Se você conhece a faixa de frequência de sua preferência, basta criar um filtro passa-baixo adequado no domínio da frequência. $y(n) = a \cdot x(n) + (1-a) \cdot y(n-1)$

— schnarf
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Obrigado schnarf! Portanto, como a suavização seguida pela diferenciação é igual à diferenciação seguida pela suavização; Posso também suavizar o sinal original convolvendo com, por exemplo, a janela Hann? Que tal a abordagem mais simples de usar uma diferença finita em um intervalo maior: f '(t) ~ = [f (t + 10 * Dt) -f (t-10 * Dt)] / (20 * Dt), isso dar uma estimativa bastante boa de um derivado suavizado?

— Andy

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O filtro Savitzky-Golay fornece estimativas suaves do sinal e das primeiras derivadas.

Uma implementação do MATLAB pode ser encontrada aqui .

— eglaser
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