Propriedades particulares podem ser muito úteis para encapsular o comportamento de coisas internas à sua classe. Só porque eles são privados, não significa que você não deve tirar proveito do açúcar sintático que as propriedades lhe dão.
O exemplo dado é ruim, no entanto. Os getters e setters de propriedades do Boilerplate como este são quase sempre uma má ideia. Se você estiver usando o C # 3.0 ou posterior, as propriedades automáticas são uma ideia muito melhor:
private string Whatever { get; set; };
Isso é mais curto, mais limpo e muito mais legível. Na verdade, é pouco mais do que apenas declarar a variável de suporte.
Mais importante ainda, as propriedades automáticas podem ser convertidas em propriedades completas a qualquer momento, sem alterar a semântica do restante do programa! Portanto, se você precisar adicionar validação ou manipulação de erros, poderá fazê-lo facilmente.
Como sempre, sempre achei uma pena que você não pudesse ter uma propriedade somente leitura, impor apenas poder escrever no valor do construtor ( prefiro tipos imutáveis ), mas isso foi adicionado no C # 6.0 como "Inicializadores de propriedades automáticas", que permitem:
private string Whatever { get; } = ...;
ou
private string Whatever { get; };
junto com
Whatever = ...;
no construtor.