algoritmo para o problema de euler do projeto no 18

O problema número 18 do site do Project Euler é o seguinte:

By starting at the top of the triangle below and moving to adjacent numbers on the row below, the maximum total from top to bottom is 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

That is, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Find the maximum total from top to bottom of the triangle below:

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

NOTE: As there are only 16384 routes, it is possible to solve this problem by trying every route. However, Problem 67, is the same challenge with a triangle containing one-hundred rows; it cannot be solved by brute force, and requires a clever method! ;o)

A formulação desses problemas não deixa claro se

• o "Traversor" é ganancioso, o que significa que ele sempre escolheu a criança com maior valor
• é solicitado o máximo de cada passo a passo

O que NOTEdiz isso it is possible to solve this problem by trying every route. Isso significa para mim, isso também é possível sem !

Isso leva à minha pergunta real: Supondo que não seja o máximo ganancioso, existe algum algoritmo que encontre o valor máximo da explicação sem tentar todas as rotas e que não atue como o algoritmo ganancioso?

Eu implementei um algoritmo em Java, colocando os valores primeiro em uma estrutura de nó e aplicando o algoritmo ganancioso. O resultado, no entanto, é considerado errado pelo Projeto Euler.

sum = 0;

void findWay(Node node){
    sum += node.value;
    if(node.nodeLeft != null && node.nodeRight != null){
            if(node.nodeLeft.value > node.nodeRight.value){
                findWay(node.nodeLeft);
            }else{
                findWay(node.nodeRight);
            }
        }
}

Alerta de spoiler : Esta resposta leva você a uma solução, mas não a implementa

Usando o exemplo de WuHoUnited, modificado por exclusividade:

   9
  7 0
 2 4 6
8 5 1 3

Pergunte a si mesmo: se você se encontrasse com 2 anos, aceitaria 8 em vez de 5, sabendo que são os nós das folhas da árvore? Da mesma forma, se você se encontrasse com 6 anos, aceitaria 3 em vez de 1, sabendo que esses são os nós das folhas da árvore?

Certamente não. Agora podemos reduzir a árvore, sabendo que decisão tomaríamos no penúltimo ramo (independentemente de como chegamos lá):

   9
  7 0
10 9 9

Eu acho que você vê para onde isso está indo.

Como alguém que resolveu o problema, posso lhe dizer que o algoritmo ganancioso NÃO é o que eles estão procurando.

Ele está procurando o valor máximo de todas as rotas possíveis.

exemplo

   3
  7 4
 2 4 6
8 5 1 3

3 + 7 + 4 + 5 = 19 <- ganancioso
3 + 7 + 2 + 8 = 20 <- não ganancioso

Portanto, a resposta deve ser 20

O algoritmo de Dijkstra para caminhos mais curtos (vire todas as bordas para negativas).

A abordagem gananciosa definitivamente não é a abordagem que você deve considerar para esse problema. Pense em uma solução que verifique exaustivamente todas as rotas possíveis e encontre o máximo. Otimize-o usando a programação dinâmica .