Por que o FRACTRAN turing está completo?

Tentei procurar no google por explicações, mas a maioria dos links diz apenas coisas como "O FRACTRAN está completo. Como exemplo, vejamos a multiplicação".

Lembro-me de ver uma postagem no fórum do xkcd dizer que o FRACTRAN ajudou o pôster a entender a Turing Completeness. Estou procurando uma explicação intuitiva sobre por que esse esolang é Turing completo, pois não é muito óbvio olhar para a mecânica da linguagem.

Para que uma linguagem imperativa seja Turing completa, ela deve ter:

1. Loop condicional
2. Número arbitrário de variáveis

FRACTRAN é uma linguagem composta de uma série de frações que armazena seus dados nos expoentes dos números primos.

Digamos que você queira adicionar dois números: 2 ^a 3 ^b torna-se 5 ^ab

455 11 1 3 11 1
---, -, -, -, -, -
 33 13 11 7 2 3

Esse é um programa FRACTRAN para fazer isso acima da mudança.

Você começa com um número como 72 (2 ³ 3 ² ). O programa avança até encontrar um número que, quando multiplicado pela instrução, é outro número inteiro (nenhum resto é permitido).

72seguirá em frente até chegar 11/2. Em seguida, dividirá o número por 2e multiplicará por 11(o poder em 11 é uma variável). Isso dá 396. 396é divisível por 33 (reduzindo a potência 3 e a 11) e multiplicado por 455 (incrementando as variáveis ​​5, 7 e 13). E assim por diante. A descrição completa deste programa e sua tabela de estados podem ser lidas na página da FRACTRAN , incluindo um gif animado muito bom do programa acima.

Outros materiais FRACTRAN no Stack Exchange que abordam a integridade de Turing podem ser encontrados em: Converter Fractran em Brainfuck (ok, esse é um uso realmente produtivo do tempo)

O motivo pelo qual o Fractran é Turing-complete é porque simula uma máquina de registro. A fatoração primária do número armazena o conteúdo dos registros, enquanto a divisão e multiplicação é uma maneira de adicionar e subtrair condicionalmente os registros.

Parte do truque aqui (e isso começa desviando em teoria) é que por trás das cenas, esta é uma máquina de registo Minsky para o qual foi provado que certas fitas (programas) são Turing máquinas IF a fita é representado como um número de Gödel que é exatamente qual é o número FRACTRAN (na página da wikipedia vinculada):

Gödel usou um sistema baseado em fatoração primária. Ele primeiro atribuiu um número natural único a cada símbolo básico na linguagem formal da aritmética com a qual estava lidando.

Então, temos loops condicionais, variáveis ​​arbitrárias armazenadas como números de Gödel, temos uma máquina de Turing.

Alguma outra leitura divertida que toca a natureza Collatz, como a natureza do FRACTRAN, pode ser lida em Can't Decide? Indeciso! que relacionam a conjectura de Collatz ao FRACTRAN e o problema da parada.

FRACTRAN é um pouco difícil de entender.

Considere o programa algo como:

LABEL: start
    block1
    block2
    block3
    ...
END

Neste, cada bloco tem o formato:

IF(registers X >= a, Y >= b)  # or any combination of registers
THEN
    X -= a
    Y -= b

    I += n
    J += m

    goto start

A primeira instrução do programa de multiplicação acima:

455
---
 33

Seria escrito desta forma como:

IF(register `3` >= 1 && `11` >= 1)
THEN
     `3` -= 1
    `11` -= 1

     `5` += 1
     `7` += 1
    `13` += 1

    goto start

E assim você pode ver claramente o armazenamento de dados e as construções de loop necessárias para a integridade de Turing. É muito rudimentar, mas existe e funciona como uma simples máquina de registro - mas é tudo o que você realmente precisa para fazer.

Ainda não está convencido?

Isso se baseia amplamente em uma palestra de Dimitri Hendricks sobre Modelos de Computação

Isso requer o programa muito simples (2/3)que é um somador (2 ^a 3 ^b -> 3 ^{a + b} ). Mas é destrutivo - o valor em 2 é limpo como parte do processo.

Vamos escrever um FRACTRAN de nível superior que facilita a não destruição.

O programa original pode ser considerado como:

   2
α: - → α
   3

Em F ₂ , pode-se especificar 'funções' de um tipo.

   10 1
α: - → α, - → β
    3 1

   3
β: - → β
   5 

Para converter um programa F ₂ (P) em um programa FRACTRAN padrão, é necessário:

1. P claro de loops de comprimento 1
2. Substitua letras gregas (funções) por novos números primos
3. Substitua as transições:

   ás
p: - → q, - → r, - -> s, ...
   bdf

torna-se:

aq cr es
-, -, -, ...
bp dp fp

O que isso fez é usar os primos p, q, re es para armazenar o estado do programa.

E então temos a máquina de registro ... ela tem um número finito de registros que armazenam números grandes arbitrários e duas instruções:

• inc (x _i , m) - incremente o registro ie vá para a linha m
• jzdec (x _i , m ₁ , m ₂ ) - se o registro i for 0, vá para a linha m, então diminua i e vá para a linha m2.

Esta máquina registradora foi mostrada como Turing completa.

Em seguida, ele mostra o processo em vários slides da compilação de um programa de máquina de registro em um programa FRACTRAN como parte de um processo mecânico.

Basicamente:

                       p (i)
inc (x (i), m) = ---- → m
                        1 1

                        1 1
jzdec (x (i), m1, m2) = ---- → m2, - → m1
                       p (i) 1

E, portanto, devido à equivalência entre esses dois modelos de computação, o FRACTRAN é Turing completo.

Btw, se você realmente quer ter uma ideia, leia Code Golf: Fractran, no qual algumas pessoas escreveram um programa FRACTRAN para executar outro programa FRACTRAN.