A resposta de Miff é definitivamente elegante. Desde que eu terminei o meu de qualquer maneira, eu o forneço. O bom é que eu recebo o mesmo resultado para n = 500 :-)
Seja d o número de caracteres diferentes que são permitidos, d = 4 no seu caso.
Seja n o comprimento da string, em última análise, você verá valores pares de n.
Seja u o número de caracteres não emparelhados em uma string.
Seja N (n, d, u) o número de cadeias de comprimento n, construídas a partir de d caracteres diferentes e com u caracteres não emparelhados. Vamos tentar calcular N.
Existem alguns casos de esquina a serem observados:
u> d ou u> n => N = 0
u <0 => N = 0
n% 2! = u% 2 => N = 0.
Ao passar de n para n + 1, você deve aumentar em 1 ou diminuir em 1, para que tenhamos uma recursão de acordo com
N (n, d, u) = f (N (n-1, d, u-1), N (n-1, d, u + 1))
Quantas maneiras existem para reduzir você em um. Este é fácil, porque temos que emparelhar um dos u caracteres não emparelhados, o que o torna apenas u. Portanto, a segunda parte de f lerá (u + 1) * N (n-1, d, u + 1), com a ressalva, é claro, que devemos observar que N = 0 se u + 1> n-1 ou u +1> d.
Depois de entendermos isso, é fácil ver qual é a primeira parte de f: de quantas maneiras podemos aumentar u quando existem caracteres u-1 não pareados. Bem, temos que escolher um dos caracteres (k- (u-1)) que estão emparelhados.
Portanto, considerando todos os casos de canto, a fórmula recursiva para N é
N (n, d, u) = (d- (u-1)) * N (n-1, d, u-1) + (u + 1) * N (n-1, d, u + 1)
Não vou ler em http://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_Mathematics como resolver a recursão.
Em vez disso, escrevi algum código Java. Novamente, um pouco mais desajeitado, assim como o Java, devido à sua verbosidade. Mas eu tinha a motivação de não usar a recursão, já que ela quebra muito cedo, pelo menos em Java, quando a pilha excede em 500 ou 1000 níveis de aninhamento.
O resultado para n = 500, d = 4 e u = 0 é:
N (500, 4, 0) = 1339385758982834151185531311325002263201756014631917009304687985462938813906170153116497973519619822659493341146941433531483931607115392554498072196838958545795769042788035468026048125208904713757765805163872455056995809556627183222337328039422584942896842901774597806462162357229520744881314972303360
calculado em 0,2 segundos, devido à memorização de resultados intermediários. N (40000,4,0) calcula em menos de 5 segundos. Código também aqui: http://ideone.com/KvB5Jv
import java.math.BigInteger;
public class EvenPairedString2 {
private final int nChars; // d above, number of different chars to use
private int count = 0;
private Map<Task,BigInteger> memo = new HashMap<>();
public EvenPairedString2(int nChars) {
this.nChars = nChars;
}
/*+******************************************************************/
// encodes for a fixed d the task to compute N(strlen,d,unpaired).
private static class Task {
public final int strlen;
public final int unpaired;
Task(int strlen, int unpaired) {
this.strlen = strlen;
this.unpaired = unpaired;
}
@Override
public int hashCode() {
return strlen*117 ^ unpaired;
}
@Override
public boolean equals(Object other) {
if (!(other instanceof Task)) {
return false;
}
Task t2 = (Task)other;
return strlen==t2.strlen && unpaired==t2.unpaired;
}
@Override
public String toString() {
return "("+strlen+","+unpaired+")";
}
}
/*+******************************************************************/
// return corner case or memorized result or null
private BigInteger getMemoed(Task t) {
if (t.strlen==0 || t.unpaired<0 || t.unpaired>t.strlen || t.unpaired>nChars
|| t.strlen%2 != t.unpaired%2) {
return BigInteger.valueOf(0);
}
if (t.strlen==1) {
return BigInteger.valueOf(nChars);
}
return memo.get(t);
}
public int getCount() {
return count;
}
public BigInteger computeNDeep(Task t) {
List<Task> stack = new ArrayList<Task>();
BigInteger result = null;
stack.add(t);
while (stack.size()>0) {
count += 1;
t = stack.remove(stack.size()-1);
result = getMemoed(t);
if (result!=null) {
continue;
}
Task t1 = new Task(t.strlen-1, t.unpaired+1);
BigInteger r1 = getMemoed(t1);
Task t2 = new Task(t.strlen-1, t.unpaired-1);
BigInteger r2 = getMemoed(t2);
if (r1==null) {
stack.add(t);
stack.add(t1);
if (r2==null) {
stack.add(t2);
}
continue;
}
if (r2==null) {
stack.add(t);
stack.add(t2);
continue;
}
result = compute(t1.unpaired, r1, nChars-t2.unpaired, r2);
memo.put(t, result);
}
return result;
}
private BigInteger compute(int u1, BigInteger r1, int u2, BigInteger r2) {
r1 = r1.multiply(BigInteger.valueOf(u1));
r2 = r2.multiply(BigInteger.valueOf(u2));
return r1.add(r2);
}
public static void main(String[] argv) {
int strlen = Integer.parseInt(argv[0]);
int nChars = Integer.parseInt(argv[1]);
EvenPairedString2 eps = new EvenPairedString2(nChars);
BigInteger result = eps.computeNDeep(new Task(strlen, 0));
System.out.printf("%d: N(%d, %d, 0) = %d%n",
eps.getCount(), strlen, nChars,
result);
}
}