Existem muitos tons de cinza entre a cópia manual de arquivo por arquivo e a entrega contínua.
Comece reduzindo a complexidade do processo de implantação, por exemplo, usando um arquivo zip, um pacote no estilo rpm, uma infraestrutura como ferramenta de gerenciamento de código (como fantoche ou chef) ou mesmo apenas um script simples que copia os arquivos para você de um área de teste no servidor ftp.
Os processos de implantação com mais etapas manuais têm mais chances de ter erros (e, portanto, falham) - como outros disseram, eliminam o elemento humano.
Você não precisa implementar a entrega contínua completa (que é cara e exige esforço / investimento / inovação ao longo do tempo) - comece de maneira simples, faça funcionar, demonstre os benefícios - e siga em frente.