Quanto à LGPL e à GPL, sim, a LGPL foi projetada para ser usada em um aplicativo da GPL, e a GPL se aplica a todo o aplicativo; portanto, todo o seu aplicativo, com o código original da LGPL, seria GPL.
Você realmente não tem o direito de "relicenciar" qualquer coisa que não tenha escrito. No entanto, se você pegar alguma coisa e fazer alterações, estará criando um trabalho derivado. Você pode escolher como licenciar esse trabalho derivado, mas apenas nas condições do código que você incluiu. Portanto, você pode combinar o código GPL e AGPL em um trabalho, e parece que o AGPL se aplicaria ao todo. Suponho que seria semelhante com a LGPL. No entanto, você não pode simplesmente pegar o código da GPL e torná-lo AGPL, porque isso adicionaria uma restrição, e eu não acho que você possa adicionar restrições a um trabalho da GPL.
Obviamente, isso fica complicado, e você deve levar sua pergunta específica a um advogado.