Incompreensão da estimativa de Monte Carlo Pi

Estou bastante certo de que entendo como a integração de Monte Carlo funciona, mas não estou entendendo a formulação de como é usada para estimar o Pi. Estou seguindo o procedimento descrito no quinto slide desta apresentação http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

Eu entendo as etapas preliminares. Pi é igual a 4 vezes a área de um quarto do círculo unitário. E a área do quarto superior direito do círculo unitário centralizado em (0,0) é equivalente à integral da curva que é o quarto superior direito do círculo unitário em $0<x<1$ e $0<y<1$ .

O que eu não entendo é como essa integral é

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

onde é distribuído uniformemente no quadrado da unidade ao redor do quarto de círculo (ou seja, é sempre igual a 1 se e e 0 em caso contrário). Portanto, isso significaria que é a função que é o quadrante superior direito do círculo unitário em e mas não entendo como isso é verdade, uma vez que a função do indicador pode ser apenas 1 ou 0. Entendo que provavelmente foi escrita dessa maneira para facilitar a amostragem de Monte Carlo (ou seja, é uma expectativa, portanto, basta amostrar de e obtenha a média das amostras aplicadas a$P(x,y)$$0<x<1$$0<y<1$$I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
$0<x<1$$0<y<1$$P(x,y)$$I((x^2+y^2)<1)$), mas simplesmente não faz sentido para mim porque essa integral representa a área sob essa curva.

Alguém poderia fornecer uma explicação intuitiva disso. Talvez mostre como essa integral foi derivada passo a passo?

EDITAR:

Consegui entender melhor relacionando a expectativa a uma área. Vou explicar aqui caso ajude alguém. Primeiro comece relacionando Pi à área do quadrante superior direito do círculo unitário

$\pi=4\times A_{tr}$

Em seguida, colocamos o quadrante superior direito no quadrado da unidade. E sob uma distribuição uniforme sobre o quadrado da unidade, a área do quadrante do círculo é proporcional à probabilidade de obter uma amostra dele. Segue-se que a seguinte igualdade é válida

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

e para$A_{square}=1$

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

E substituindo na equação original

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

e também é verdade que que é igual à integral dupla original.$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

Entendi, relacionando a área a uma probabilidade e, em seguida, relacionando essa probabilidade a uma expectativa equivalente à integral. Deixe-me saber se eu cometi algum erro.

A área de um círculo de raio é igual a . Isso significa que um quarto do círculo tem área . Isso significa que o quadrado com o lado do raio do círculo como .$l$$\pi l^2$$l^2\pi/4$$area=l^2$

Isso significa que a razão entre a área de um quarto de círculo e a área do quadrado é . $\pi/4$

Um ponto está no quadrado se . e está no quarto do círculo se . $(x,y)$$0<x<1, 0<y<1$$0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

Sua integral é tão Essa é exatamente a área descrita por um quarto de círculo$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

A explicação intuitiva mais simples baseia-se no entendimento de que . Assim, . Depois de perceber o duplo integal é simplesmente uma probabilidade, ele deve fazer sentido intuitivo que você poderia provar e da unidade quadrado e calcular a proporção de empates para o qual . $E(I(A)) = P(A)$$\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$$x$$y$$x^2 + y^2 <1$

Talvez a outra parte da intuição que falta ao seu entendimento seja a conexão entre área e probabilidade. Uma vez que a área de toda a unidade quadrada é 1 e pontos estão uniformemente distribuídos no interior do quadrado, a área de qualquer região dentro da unidade quadrado corresponderia à probabilidade de que um ponto escolhido aleatoriamente seria dentro de .$(x,y)$$A$$A$

Eu cheguei neste CV de surf e vejo que o código do Monte Carlo está na oitava. Por acaso, tenho uma simulação em R que torna a idéia de derivar o número como uma distribuição uniforme bivariada no plano sob as restrições das integrais no OP muito intuitiva:[ 0 , 1 $\pi$$[0,1]$

Dado que o quarto de um círculo é colocado em um quadrado de 1 unidade, a área é . Assim, a geração de pontos uniformemente distribuídos no quadrado terminará com carpete em todo o quadrado, e o cálculo da fração que cumpre será o mesmo que integrar pois estamos apenas selecionando a fração de pontos dentro do círculo em relação ao quadrado da unidade:( x , y ) 1 < $\pi/4$$(x,y)$ ∬1((x2+y2)<1$1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$$∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Podemos plotar os valores que caem dentro do raio entre 10.000 empates:

E podemos, naturalmente, chegar cada vez mais perto selecionando mais pontos. Com 1 milhão de pontos, obtemos:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

um resultado muito aproximado. Aqui está o enredo: