Exemplos de aplicação incorreta do teorema de Bayes

Essa pergunta da comunidade do estouro da matemática pediu "exemplos de argumentos ruins que envolvem a aplicação de teoremas matemáticos em contextos não matemáticos" e produziu uma lista fascinante de matemática aplicada patologicamente.

Estou pensando em exemplos semelhantes de usos patológicos da inferência bayesiana. Alguém já encontrou artigos acadêmicos, posts excêntricos em blogs que usam métodos bayesianos de maneiras irritadiças.

bayesian

— Chris Brent
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Sim. Fui contratado recentemente como consultor de estatística para examinar um artigo (horrível) em particular cujos autores conseguiram parecer ainda piores em uma carta ao editor usando o teorema de Bayes. Eles começaram com um valor preditivo positivo calculado incorretamente do artigo (VPP = 95% supostamente). Eles basicamente desconsideraram uma carta crítica sobre isso por Ricci ^{₍₂₀₀₄₎} que tentou (e falhou) dizer a eles como eles deveriam ter calculado (sugeriu 82,3%). Em seguida, eles encontraram um livro de bioestatística ^{_{(Elston & Johnson, 1994)}} e o citaram incorretamente . Compramos o livro e checamos, mas em retrospecto, isso era tão desnecessário quanto eu suspeitava. Obtenha uma carga dessa bagunça (da carta de resposta de Barsness et al. Ao editor):

O teorema de Bayes ¹ geralmente afirma que uma baixa prevalência de uma determinada doença (NAT) fortalece o valor preditivo positivo de um teste positivo (fratura de costela) para definir o estado da doença (vítima de NAT) ... De acordo com o teorema de Bayes, ¹ a probabilidade de um evento é definida pela seguinte equação: P é a probabilidade de um evento verdadeiro ( vítima de NAT), P (S / D ₁ ) é a probabilidade de um teste positivo (VPP de uma fratura de costela para predizer NAT) e P (S / D ₂ ) é a probabilidade posterior de um teste positivo (prevalência de NAT) . Substituindo nossos dados, a probabilidade de uma fratura de costela ser um evento verdadeiro
$P = \frac{P (S / D_{1})}{P (S / D_{1}) + P (S / D_{2})}$ $\rm P=\frac{P(S/D_1)}{P(S/D_1)+P(S/D_2)}$ $[p = 95/(95 + 1.6)]$ é 98,3 por cento. Usando o cálculo de PPV menor acima mencionado de 82,3 por cento, a probabilidade de um evento verdadeiro é de 98,1 por cento.

Vê alguma coisa ~~estranha e~~ coerente aqui? Eu com certeza não ...

Esse é o teorema de Bayes, conforme Elston e Johnson ^{_{(1994) o}} aplicam a um exemplo de hereditariedade da hemofilia:

$P (D_{1} | S) = \frac{P (D_{1}) P (S | D_{1})}{P (D_{1}) P (S | D_{1}) + P (D_{2}) P (S | D_{2})}$ $\rm P(D_1|S)=\frac{P(D_1)P(S|D_1)}{P(D_1)P(S|D_1)+P(D_2)P(S|D_2)}$

As discrepâncias falam por si, mas aqui está uma citação de sua discussão sobre o exemplo:

O fato de ela ter um filho não afetado diminui a probabilidade de herdar o gene da hemofilia e, portanto, a probabilidade de o segundo filho ser afetado.

Onde Barsness e colegas tiveram a ideia de que a baixa prevalência fortalece o VPP, eu não sei, mas eles certamente não estavam prestando atenção em seu próprio livro de escolha.
Eles não parecem entender que o VPP é a probabilidade de um "evento verdadeiro" (D ₁ ), devido a uma fratura de costela (S). Assim, em uma demonstração poeticamente completa de " entrada e saída de lixo ", eles inserem seu PPV como numerador e denominador, adicionam a prevalência ao denominador e obtêm um PPV mais alto. É uma pena que eles não tenham percebido que poderiam continuar esse ad nauseum circular : Embora 98.4 seja realmente ; ou seja, qualquer PPV pode ser convertido para 98,4 com prevalência = 1,6 se a versão da equação estiver correta, aplicando-a iterativamente.
$p_{1} = 95 / (95 + 1.6) = 98.3 \to p_{2} = 98.3 / (98.3 + 1.6) = 98.4 \to \dots$ $p_1 = 95/(95 + 1.6)=98.3\rightarrow p_2 = 98.3/(98.3 + 1.6)=98.4\rightarrow\dots$ $\lim_{k\rightarrow\infty} p_k(p_{k-1},1.6)$
Ao usar suas informações de prevalência e algumas estimativas razoáveis de sensibilidade e especificidade de outros estudos sobre o tema, o VPP acaba sendo muito menor (talvez tão baixo quanto 3%). O engraçado é que eu nem pensaria em usar o teorema de Bayes se eles não tivessem tentado usá-lo para fortalecer seu argumento. Claramente, não vai funcionar dessa maneira, dada uma prevalência de 1,6%.

^{Referências

· Barsness, KA, Cha, ES, Bensard, DD, Calkins, CM, Partrick, DA, Karrer, FM e Strain, JD (2003). O valor preditivo positivo das fraturas de costelas como indicador de trauma não acidental em crianças. Journal of Trauma-Injury, Infection, and Critical Care, 54 (6), 1107-1110.

· Elston, RC, & Johnson, WD (1994). Fundamentos de bioestatística (2ª ed.). Filadélfia: FA Davis Company.

· Ricci, LR (2004). Cartas para o editor. Journal of Trauma-Injury, Infection, and Critical Care, 56 (3), 721.}

— Nick Stauner
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