Expressão de forma fechada para a distribuição da curtose amostral da distribuição gaussiana

Existe uma expressão de forma fechada para a distribuição da Kurtosis amostral de dados amostrados da distribuição gaussiana? ou seja,

$P(\hat{K}<a)$ onde é a curtose da amostra.$\hat{K}$

É difícil obter a distribuição exata da amostra; houve os primeiros momentos (desde 1929), várias aproximações (desde o início da década de 1960) e tabelas, muitas vezes baseadas em simulação (desde a década de 1960).

Para ser mais específico:

Fisher (1929) fornece momentos da distribuição amostral da assimetria e curtose em amostras normais, e Pearson (1930) (também) fornece os quatro primeiros momentos da distribuição amostral da assimetria e curtose e propõe testes baseados nelas.

Então, por exemplo, ∗ :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

A assimetria de é $b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

O excesso de curtose de é $b_2$.$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

$S_U$

$n$

D'Agostino e Tietjen (1971) fornecem tabelas mais extensas de percentis para curtose.

D'Agostino e Pearson (1973) fornecem gráficos de pontos percentuais de curtose que cobrem uma gama mais extensa de casos novamente.

Fisher, RA (1929),
"Momentos e Momentos de Produto de Distribuições de Amostragem",
Proceedings of London Mathematical Society , Series 2, 30: 199-238.

Pearson, ES, (1930)
"Um desenvolvimento adicional de testes de normalidade" ,
Biometrika , 22 (1-2), 239-249.

Pearson, ES (1963)
"Alguns problemas surgidos na aproximação de distribuições de probabilidade, usando momentos" ,
Biometrika , 50 , 95-112

$\sqrt{b_1}$$b_2$

$b_2$

$b_2$$\sqrt{b_1}$

$\approx 24/n$$n$$n$