Quantos adesivos eu preciso para concluir meu álbum FIFA Panini?

Estou jogando o Álbum de figurinhas online da FIFA Panini , que é uma adaptação da Internet dos álbuns clássicos da Panini, geralmente publicados para a copa do mundo de futebol, o campeonato europeu e possivelmente outros torneios.

O álbum possui espaços reservados para 424 adesivos diferentes. O objetivo do jogo é coletar todos os 424. Os adesivos vêm em embalagens de 5, que podem ser obtidas através de códigos encontrados on-line (ou, no caso do clássico álbum impresso, comprado na banca de jornais local).

Eu faço as seguintes suposições:

Todos os adesivos são publicados na mesma quantidade.
Um pacote de adesivos não contém duplicatas.

Como posso descobrir quantos pacotes de adesivos eu preciso adquirir para ter certeza (digamos 90%) de que tenho todos os 424 adesivos exclusivos?

probability coupon-collector-problem

— Vidar S. Ramdal
fonte

É possível obter várias idéias lendo outras perguntas relacionadas ao problema do coletor de cupons .

— Glen_b -Reinstar Monica

Você precisa de 700 pacotes; a chance de adquirir todos os 424 adesivos é igual a 90,0024%. 761 são necessários para aumentar a chance para 95% e 898 para 99%. (Em média, são necessários quase 560 pacotes para concluir o conjunto. É improvável (menos de uma vez em mil) que menos de 352 sejam necessários.)

— whuber

Não tenho certeza de que a primeira suposição possa ser feita. "Shinies" tendem a ser mais raros.

— James

Hmm, pelo que pude ler no documento publicado pela Asuranceturix, eles provaram que não havia diferença significativa.

— Vidar S. Ramdal

@ VidarS.Ramdal Estou corrigido.

— James

Respostas:

Esse é um belo problema do colecionador de cupons, com uma pequena reviravolta introduzida pelo fato de que os adesivos vêm em embalagens de 5.

Se os adesivos foram comprados individualmente, o resultado é conhecido, como você pode ver aqui .

Todas as estimativas para um limite superior de 90% para adesivos comprados individualmente também são limites superiores para o problema com um pacote de 5, mas um limite superior menos próximo.

Eu acho que obter um limite superior de 90% de probabilidade melhor, usando o pacote de 5 dependências, ficaria muito mais difícil e não daria um resultado muito melhor.

Portanto, usando a estimativa da cauda com e , você poderá uma boa resposta $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

EDIT :

O artigo "O problema do colecionador com desenhos em grupo" (Wolfgang Stadje), uma referência ao artigo trazido por Assuranceturix, apresenta uma solução analítica exata para o Problema do colecionador de cupons com "pacotes de adesivos".

Antes de escrever o teorema, algumas definições de notação: seria o conjunto de todos os adesivos possíveis,. seria o subconjunto que lhe interessa (no OP, ) e. Vamos desenhar, com substituição, subconjuntos aleatórios de adesivos diferentes. será o número de elementos de que aparecem em pelo menos um desses subconjuntos. $S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

O teorema diz que:

P (X_{k} (A) = n) = (\binom{l}{n}) \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{m})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

Assim, para a OP temos e . Fiz algumas tentativas com valores de próximos à estimativa para o problema do coletor de cupons clássico (729 pacotes) e obtive uma probabilidade de 90,02% para k igual a 700 . $l=s=n=424$ $m=5$ $k$

Portanto, não estava tão longe do limite superior :)

— Jundiaius
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E essa boa resposta seria?

— Ziggystar

Cerca de 3642 adesivos aleatórios. Portanto, o limite superior para o "pacote com 5 problemas" seria algo menor que 729 pacotes.

— precisa saber é o seguinte

Outro dia, me deparei com um artigo que aborda uma questão intimamente relacionada:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Se eu entendi corretamente, o número esperado de pacotes que você precisaria comprar seria:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

No entanto, como eqperes aponta nos comentários, a pergunta específica que o OP faz é realmente abordada em detalhes em outro artigo que não é de acesso aberto.

A conclusão final sugere a seguinte estratégia (para um álbum de 660 adesivos):

Compre uma caixa de 100 pacotes de 5 adesivos (500 adesivos, com garantia de que são todos diferentes)
Compre mais 40 pacotes de 5 adesivos e troque as duplicatas até ter no máximo 50 adesivos faltando.
Compre os adesivos restantes diretamente da Panini (eles custam aproximadamente 1,5 vezes mais).

É um total de 140 pacotes e até 15 pacotes extras de adesivos (por custo) adquiridos de maneira direcionada, equivalente a no máximo 155 pacotes .

— Asuranceturix
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Ótimo! Parece que o argumento central de seus resultados estaria no artigo "O problema do colecionador com desenhos de grupo" , que infelizmente não está em acesso aberto.

— Jundiaius #

Haha, isso é ótimo! Eles também detalham como a troca afeta o resultado (que eu deixei de fora da questão). Muito interessante, obrigado!

— Vidar S. Ramdal

Você pode resumir a solução para o problema do OP fornecido pelo documento? Às vezes, os links expiram e, em seguida, essa resposta se torna menos útil.

— Andy

@ Andy: Eu editei a resposta para resolver sua preocupação, mas não é exatamente a resposta para a pergunta original. Infelizmente, o artigo original que fornece essa resposta é muito difícil de ler para mim, desculpe.

— precisa

Eu sou duvidoso sobre uma caixa de 100 pacotes contendo apenas adesivos distintos. Parece que isso causaria uma complicação enorme e desnecessária na fabricação, com pouco benefício.

— GTC