Vou começar dizendo que esse é um problema de lição de casa logo de cara. Passei algumas horas procurando como encontrar os valores esperados e concluí que não entendo nada.

Seja $X$ o CDF $F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$ .
Encontre $E(X)$ para os valores de $\alpha$ para os quais $E(X)$ existe.

Eu não tenho idéia de como começar isso. Como posso determinar quais valores de $\alpha$ existem? Também não sei o que fazer com o CDF (estou assumindo que isso significa Função de Distribuição Cumulativa). Existem fórmulas para encontrar o valor esperado quando você tem uma função de frequência ou densidade. A Wikipedia diz que o CDF de $X$ pode ser definido em termos da função de densidade de probabilidade $f$ seguinte maneira:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Isto é tanto quanto eu cheguei. Para onde eu vou daqui?

EDIT: eu pretendia colocar $x\ge1$ .

Editado para o comentário de probabilityislogic

Observe que neste caso, portanto a distribuição tem probabilidade 0 de ser menor que 1 , então x ≥ 1 , e você também precisará de α > 0 para um cdf crescente.$F(1)=0$$0$$1$$x \ge 1$$\alpha > 0$

Se você possui o cdf, deseja o anti-integral ou derivado que, com uma distribuição contínua como esta

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

e no sentido inverso para x ≥ 1 .$F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

Então, para encontrar a expectativa que você precisa encontrar

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

desde que exista. Vou deixar o cálculo para você.

O uso da função densidade não é necessário

Integrar 1 menos o CDF

Quando você tem uma variável aleatória que possui um suporte não negativo (ou seja, a variável possui densidade / probabilidade diferente de zero apenas para valores positivos), você pode usar a seguinte propriedade:$X$

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

Uma propriedade semelhante se aplica no caso de uma variável aleatória discreta.

Prova

Desde ,$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

Em seguida, mude a ordem da integração:

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

Reconhecendo que é uma variável binária, ou tendo a substituição simples t = x e d t = d x ,$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

Atribuição

Usei a seção Fórmulas para casos especiais do artigo Valor esperado na Wikipedia para atualizar minha memória na prova. Essa seção também contém provas para o caso de variável aleatória discreta e também para o caso de que não existe função de densidade.

O resultado se estende ao ésimo momento de X também. Aqui está uma representação gráfica: $k$$X$

Eu acho que você realmente quer dizer , caso contrário, o CDF é vazio, pois F ( 1 ) = 1 - 1 - α = 1 - 1 = 0 .$x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

O que você "sabe" sobre os CDFs é que eles acabam se aproximando de zero quando o argumento diminui sem limites e acabam se aproximando de um como x → ∞ . Eles também não diminuem, portanto isso significa 0 ≤ F ( y ) ≤ F ( x ) ≤ 1 para todos os y ≤ x .$x$$x \to \infty$$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$$y\leq x$

Portanto, se conectarmos o CDF, obtemos:

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

A partir disso, concluímos que o suporte para é x ≥ 1 . Agora também exigimos lim x → ∞ F ( x ) = 1, o que implica que α > $x$$x\geq 1$$\lim_{x\to\infty} F(x)=1$$\alpha>0$

Para descobrir quais valores a expectativa existe, exigimos:

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

E essa última expressão mostra que, para que exista, devemos ter - α < - 1 , o que implica α > 1 . Isso pode ser facilmente estendido para determinar os valores de α para os quais existe o r- ésimo momento bruto E ( X r ) .$E(X)$$-\alpha<-1$$\alpha>1$$\alpha$$r$$E(X^{r})$

A resposta que exige mudança de ordem é desnecessariamente feia. Aqui está uma prova de 2 linhas mais elegante.

$\int udv = uv - \int vdu$

Agora pegue $du = dx$ e $v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$