Funções de geração de momento e transformadas de Fourier?

Uma função geradora de momentos é uma transformada de Fourier de uma função de densidade de probabilidade?

Em outras palavras, uma função geradora de momento é apenas a resolução espectral de uma distribuição de densidade de probabilidade de uma variável aleatória, ou seja, uma maneira equivalente de caracterizar uma função em termos de amplitude, fase e frequência, e não em termos de parâmetro?

Se sim, podemos dar uma interpretação física a esta besta?

Pergunto porque, na física estatística, uma função geradora cumulante , o logaritmo de uma função geradora de momentos, é uma quantidade aditiva que caracteriza um sistema físico. Se você pensa na energia como uma variável aleatória, sua função de geração cumulativa tem uma interpretação muito intuitiva como a disseminação de energia por todo o sistema. Existe uma interpretação intuitiva semelhante para a função geradora de momentos?

Eu entendo a utilidade matemática disso, mas não é apenas um conceito de truque, certamente há um significado por trás disso conceitualmente?

moments mgf cumulants

— bolbteppa
fonte

Acredito que é a função característica que mais se assemelha à transformada de Fourier. A função geradora de momento é uma transformação de Laplace.

— Placidia

Interessante: "A transformação de Laplace está relacionada à transformação de Fourier, mas enquanto a transformação de Fourier resolve uma função ou sinal em seus modos de vibração, a transformação de Laplace resolve uma função em seus momentos" princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs /… Então eu acho que a pergunta é: como, intuitivamente, uma transformada de Laplace decompõe uma função em seus momentos, e há uma interpretação geométrica disso?

— bolbteppa

Faz isso em virtude da expansão da função exponencial da série Taylor.

— Placidia

Agora tudo quase faz sentido! No entanto, o que exatamente é um momento, intuitivamente? Eu sei o seguinte: "Em termos gerais, um momento pode ser considerado como uma amostra diverge do valor médio de um sinal - o primeiro momento é realmente a média, o segundo é a variação, etc ..." dsp.stackexchange.com/a/ 11032 No entanto, o que isso significa intuitivamente? Qual é a amostra ao calcular o 1º / 2º / 3º / 4º momento de, x ^ 2 (fazendo uma transformada de Laplace de x ^ 2)? Existe uma interpretação geométrica?

— precisa saber é o seguinte

O MGF é

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

$t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

$e^{itx}$ $e^{tx}$

$e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Brian Borchers
fonte

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

E, claro, a propriedade mais útil é que o MGF da soma de duas variáveis aleatórias independentes é o produto de suas funções geradoras de momento. Isso é equivalente à regra de que a transformação de Fourier da convolução de duas funções é o produto de suas transformadas de Fourier.

— precisa