Previsão de variação de dados heterocedásticos

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Estou tentando fazer uma regressão em dados heterocedásticos em que estou tentando prever as variações de erro, bem como os valores médios em termos de um modelo linear. Algo assim:

\begin{aligned} y (x, t) & = \bar{y} (x, t) + ξ (x, t), \\ ξ (x, t) & \sim N (0, σ (x, t)), \\ \bar{y} (x, t) & = y_{0} + a x + b t, \\ σ (x, t) & = σ_{0} + c x + d t . \end{aligned}

$\begin{align}\\ y\left(x,t\right) &= \bar{y}\left(x,t\right)+\xi\left(x,t\right),\\ \xi\left(x,t\right) &\sim N\left(0,\sigma\left(x,t\right)\right),\\ \bar{y}\left(x,t\right) &= y_{0}+ax+bt,\\ \sigma\left(x,t\right) &= \sigma_{0}+cx+dt. \end{align}$

Em palavras, os dados consistem em medições repetidas de em vários valores de e . Suponho que essas medidas consistam em um valor médio "verdadeiro" que é uma função linear de e , com ruído gaussiano aditivo cujo desvio padrão (ou variância, Eu não decidi) também depende linearmente de . (Eu poderia permitir dependências mais complicadas de e - não há uma forte motivação teórica para uma forma linear - mas prefiro não complicar demais as coisas nesse estágio.) $y(x,t)$ $x$ $t$ $\bar{y}(x,t)$ $x$ $t$ $\xi(x,t)$ $x,t$ $x$ $t$

Eu sei que o termo de pesquisa aqui é "heterocedasticidade", mas tudo o que consegui encontrar até agora são discussões sobre como reduzi-lo / removê-lo para prever melhor , mas nada em termos de tentativa de prever em termos de variáveis independentes. Gostaria de estimar e com intervalos de confiança (ou equivalentes bayesianos), e se existe uma maneira fácil de fazer isso no SPSS, tanto melhor! O que devo fazer? Obrigado. $\bar{y}$ $\sigma$ $y_0, a, b, \sigma_0, c$ $d$

— Michael
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Veja esta questão relacionada para algumas referências, variância em função de parâmetros

— Andy W

Você tentou GARCH?

— Aksakal

Modelos lineares generalizados é o ramo que lida com o seu problema. Há um livro com o mesmo título, muito recomendado.

— Diego

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Acho que seu primeiro problema é que não é mais uma distribuição normal, e como os dados precisam ser transformados para serem homoscedásticos depende exatamente do que é. Por exemplo, se , o erro é do tipo proporcional e o logaritmo dos dados y deve ser tomado antes da regressão ou, a regressão ajustada a partir dos mínimos quadrados comuns (OLS ) para mínimos quadrados ponderados com um peso de (que altera a regressão para erro de tipo proporcional minimizado). Da mesma forma, se , seria necessário pegar o logaritmo do logaritmo e regredi-lo. $N\left(0,\sigma\left(x,t\right)\right)$ $\sigma\left(x,t\right)$ $\sigma\left(x,t\right)= ax+bt$ $1/y^2$ $\sigma\left(x,t\right)= e^{a x+b t}$

Penso que a razão pela qual a predição de tipos de erro é pouco abordada é que primeiro é feita qualquer regressão antiga (gemido, normalmente quadrados mínimos, OLS). E a partir da plotagem residual, isto é, , observa-se a forma residual, e plota-se o histograma de frequência dos dados e olha para isso. Então, se os resíduos são um feixe de ventilador que se abre à direita, tenta-se a modelagem proporcional de dados, se o histograma se parece com um decaimento exponencial, pode-se tentar reciprocidade, , e assim por diante, para raízes quadradas, quadratura, exponenciação , tomando exponencial-y. $model-y$ $1/y$

Agora, isso é apenas o conto. A versão mais longa inclui muito mais tipos de regressão, incluindo regressão mediana de Theil, regressão bivariada de Deming e regressão para minimizar o erro dos problemas incorretos 'que não têm nenhuma relação particular de ajuste de curva com o erro propagado sendo minimizado. Esse último é um enorme, mas, veja issocomo um exemplo. Para que faça uma grande diferença as respostas que se está tentando obter. Normalmente, se alguém deseja estabelecer um relacionamento entre variáveis, a rotina OLS não é o método de escolha e a regressão de Theil seria uma melhoria rápida e suja sobre isso. O OLS apenas minimiza na direção y, portanto a inclinação é muito rasa e a interceptação muito grande para estabelecer qual é o relacionamento subjacente entre as variáveis. Dito de outra maneira, o OLS fornece uma estimativa de erro mínima de ay dada um x, não fornece uma estimativa de como x muda com y. Quando os valores de r são muito altos (0,99999+), faz pouca diferença a regressão que se usa e OLS em y é aproximadamente o mesmo que OLS em x, mas, quando os valores de r são baixos, OLS em y é muito diferente de OLS em x.

Em resumo, muito depende exatamente de qual é o raciocínio que motivou a análise de regressão em primeiro lugar. Isso determina os métodos numéricos necessários. Após essa escolha, os resíduos têm uma estrutura relacionada ao objetivo da regressão e precisam ser analisados nesse contexto maior.

— Carl
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O comando de extensão STATS BREUSCH PAGAN pode testar resíduos quanto à heterocedasticidade e estimar em função de alguns ou de todos os regressores.

— JKP
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A abordagem geral para problemas desse tipo é maximizar a probabilidade (regularizada) de seus dados.

No seu caso, a probabilidade do log seria semelhante a onde

L L (y_{0}, a, b, σ_{0}, c, d) = \sum_{i = 1}^{n} \log ϕ (y_{i}, y_{0} + a x_{i} + b t_{i}, σ_{0} + c x_{i} + d t_{i})

$LL(y_0, a, b, \sigma_0, c, d) = \sum_{i=1}^n \log \phi(y_i, y_0 + a x_i + b t_i, \sigma_0 + c x_i + d t_i)$

ϕ (x, μ, σ) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}

$\phi(x, \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Você pode codificar essa expressão em uma função no seu pacote estatístico favorito (eu preferiria Python, R ou Stata, pois nunca fiz programação no SPSS). Em seguida, você pode alimentá-lo com um otimizador numérico, que estimará o valor ideal de seus parâmetros . $\hat{\theta}$ $\theta=(y_0, a, b, \sigma_0, c, d)$

Se você precisar de intervalos de confiança, esse otimizador também pode estimar a matriz Hessiana de (segundas derivadas) em torno do ideal. Teoria da estimativa de probabilidade máxima que diz para grande matriz de covariância de pode ser estimada como . $H$ $\theta$ $n$ $\hat{\theta}$ $H^{-1}$

Aqui está um exemplo de código em Python:

import scipy
import numpy as np

# generate toy data for the problem
np.random.seed(1) # fix random seed
n = 1000 # fix problem size
x = np.random.normal(size=n)
t = np.random.normal(size=n)
mean = 1 + x * 2 + t * 3
std = 4 + x * 0.5 + t * 0.6
y = np.random.normal(size=n, loc=mean, scale=std)

# create negative log likelihood
def neg_log_lik(theta):
    est_mean = theta[0] + x * theta[1] + t * theta[2]
    est_std = np.maximum(theta[3] + x * theta[4] + t * theta[5], 1e-10)
    return -sum(scipy.stats.norm.logpdf(y, loc=est_mean, scale=est_std))

# maximize
initial = np.array([0,0,0,1,0,0])
result = scipy.optimize.minimize(neg_log_lik, initial)
# extract point estimation
param = result.x
print(param)
# extract standard error for confidence intervals
std_error = np.sqrt(np.diag(result.hess_inv))
print(std_error)

Observe que a formulação do seu problema pode produzir negativo , e eu tive que me defender dele pela substituição da força bruta de muito pequeno por . $\sigma$ $\sigma$ $10^{-10}$

O resultado (estimativas de parâmetros e seus erros padrão) produzidos pelo código é:

[ 0.8724218   1.75510897  2.87661843  3.88917283  0.63696726  0.5788625 ]
[ 0.15073344  0.07351353  0.09515104  0.08086239  0.08422978  0.0853192 ]

Você pode ver que as estimativas estão próximas de seus valores reais, o que confirma a exatidão dessa simulação.

— David Dale
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